Die Antwort ist auf beide Fragen: Ja.  Hier ein paar Gedankengänge.
Man kann sich relativ leicht überlegen, dass die zur Grundebene parallelen Schnitte der Pyramide Vierecke sind. Mit  \( a_1(h), a_2(h), a_3(h),a_4(h) \) bezeichnen wir die Seitenlängen des Vierecks, dass man bei einem Schnitt auf der Höhe \(h\) erhält, wobei \( h=0\) den Schnitt auf Höhe der Grundfläche beschreibt und \( h=H\) den Schnitt auf Höhe der Pyramidenspitze (die Pyramide hat also eine Höhe \(H\) ).

Die Funktionen \(a_1 ,a_2 ,a_3,a_4\) sind alle linear und es gilt

\[ a_1(0) = a_2(0)=a_3(0)=a_4(0)\]

sowie
\[ a_1(H)=a_2(H)=a_3(H)=a_4(H) =0 .\]

Da lineare Funktion durch die Angabe zweier Werte eindeutig bestimmt sind, gilt

\[a_1(h)=a_2(h)=a_3(h)=a_4(h)\]

für alle Höhen \(h\).

Die gleiche Überlegung für die Längen der Diagonalen des Vierecks in Abhängigkeit der Höhe des Schnitts zeigt, dass beide Diagonalen des Vierecks immer gleich lang sind. Somit ist jeder parallele Schnitt wieder ein Quadrat.

Man kann für den schiefen Kegel eine ähnliche Argumentation anwenden.