Bleiben die Schnitte einer schiefen quadratischen Pyramide quadratisch?

Erste Frage Aufrufe: 50     Aktiv: 02.02.2021 um 22:08

0
Guten Tag, ich habe 1,5 Fragen: Wenn ich eine quadratische Pyramide habe, die aber schief ist, sind dann alle Schnitte parallel zur Grundebene ebenfalls Quadrate? Die analoge halbe Frage hätte ich auch beim schiefen Kegel: Sind alle Schnitte parallel zur Grundebene rund, wenn der Kegel schief ist?
Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 10

 

Kommentar schreiben

1 Antwort
0

Die Antwort ist auf beide Fragen: Ja.  Hier ein paar Gedankengänge.
Man kann sich relativ leicht überlegen, dass die zur Grundebene parallelen Schnitte der Pyramide Vierecke sind. Mit  \( a_1(h), a_2(h), a_3(h),a_4(h) \) bezeichnen wir die Seitenlängen des Vierecks, dass man bei einem Schnitt auf der Höhe \(h\) erhält, wobei \( h=0\) den Schnitt auf Höhe der Grundfläche beschreibt und \( h=H\) den Schnitt auf Höhe der Pyramidenspitze (die Pyramide hat also eine Höhe \(H\) ).

Die Funktionen \(a_1 ,a_2 ,a_3,a_4\) sind alle linear und es gilt

\[ a_1(0) = a_2(0)=a_3(0)=a_4(0)\]

sowie
\[ a_1(H)=a_2(H)=a_3(H)=a_4(H) =0 .\]

Da lineare Funktion durch die Angabe zweier Werte eindeutig bestimmt sind, gilt

\[a_1(h)=a_2(h)=a_3(h)=a_4(h)\]

für alle Höhen \(h\).

Die gleiche Überlegung für die Längen der Diagonalen des Vierecks in Abhängigkeit der Höhe des Schnitts zeigt, dass beide Diagonalen des Vierecks immer gleich lang sind. Somit ist jeder parallele Schnitt wieder ein Quadrat.

Man kann für den schiefen Kegel eine ähnliche Argumentation anwenden.

Diese Antwort melden
geantwortet

Student, Punkte: 795
 

Kommentar schreiben