Sind a und b bei einer Äquivalenzrelation äquivalent?

Aufrufe: 514     Aktiv: 13.02.2022 um 12:45

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Die Frage mag bescheuert klingen, aber mal angenommen, ich hab aus einer abelschen Gruppe G die Elemente a und b. Sei R eine Äquivalenzrelation, in der die Elemente a und b von G zueinander in Beziehung stehen. Für die Äquivalenzrelation gelten die Bedingungen Reflexivität, Symmetrie und Transitivität. Reflexivität verstehe ich, da ist einfach jedes Element äquivalent zu sich selber. Transitivität hab ich auch verstanden. Wenn a und b zueinander symmetrisch sind, kann dies meiner Meinung nach nur bedeuten, dass diese Elemente äquivalent zueinander sind. Oder ist es auch möglich, dass die Symmetrie zwischen zwei Elementen auch dann gegeben ist, wenn sie unterschiedlich sind? Falls dies so ist, kann ich nicht nachvollziehen, wie das möglich sein soll.
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2 Antworten
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Hier gibt es Verwirrung um die unterschiedliche Bedeutung von "symmetrisch".
In Deiner Frage geht es darum, ob eine Relation symmetrisch ist. Das ist also eine Eigenschaft der Relation, nicht von einzelnen Elementen.
R ist symmetrisch, wenn für alle a,b gilt: aRb $\iff$ bRa.
Wenn aRb zutrifft, spricht aber nicht von zueinander symmetrischen Elementen.

Die weiter verbreitete Bedeutung von zwei symmetrischen Elementen (Graph ist symmetrisch zur y-Achse, eine Figur ist achsensymmetrisch, ein Spiegelbild ist.... usw.) ist eine andere.
Es ist sinnvoll, sich in der Mathematik klar zu machen,  von welchen Objekten man redet (hier: von Relationen, oder von Elementen?). Dann klärt sich vieles von selbst.
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Jaa, danke, genau das hat mich verwirrt.   ─   katano 12.02.2022 um 22:14

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