Matrizen auf Stufenform bringen

Aufrufe: 158     Aktiv: 12.09.2021 um 17:11

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Guten Morgen!

Ich komme bei einigen Aufgaben nicht weiter. Ich muss die Matrizen auf Stufenform bringen, aber irgendwas ist hier falsch. Ich erkenne meine Fehler nicht. Könnt ihr mir eine Rückmeldung geben, ob der Ansatz stimmt und wo meine Fehler liegen. Danke!


EDIT vom 06.09.2021 um 13:55:

N

EDIT vom 06.09.2021 um 17:59:

 Ich weiß nicht ob der Rechenweg so passt. Nach langem hin und her bin ich auf diese Stufenform gekommen

EDIT vom 06.09.2021 um 20:08:

 b) hab´ich probiert. Ich weiß echt nicht, ob das so stimmt. Am Anfang haben mich die ganzen Aufgaben ziemlich verwirrt, da ich zum 1. Mal Matrizen behandelt habe. Ich hoffe, dass die b) passt.

EDIT vom 08.09.2021 um 18:39:


c) ich hab da jetzt was probiert, aber auf das richtige Ergebnis bin ich nicht nicht gekommen. Hab´ich da was übersehen?

EDIT vom 10.09.2021 um 19:12:


So sieht´s dann aus

EDIT vom 11.09.2021 um 14:02:



Ich weiß echt nicht wie ich da vorgehen soll

EDIT vom 12.09.2021 um 16:26:


Ich hab mich da mal schlau gemacht und habe versucht systematisch vorzugehen, also von links nach rechts und von oben nach unten.
Könnt ihr mir wieder eine Rückmeldung geben?
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Habe nicht nachgerechnet! 
Ideale Treppe (Stufenform) bekommt man nur bei eindeutigen Lösungen
a) Zeilen vertauschen Nullzeile nach unten, wie bei b) ergibt mehrdeutige Lösung
c) die beiden Zeilen mit einer Null vorne müssen kombiniert werden, dann ergeben sich 2 Nullen, die müssen dann weiter kombiniert werden...
So ein System mit vielen Unbekannten systematisch von oben nach unten rechnen! Am besten zuerst umordnen und dann für die Stufenform sorgen, man kann Zeilen auch zwischendrin umsortieren, um die Orientierung zu behalten.
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selbstständig, Punkte: 9.03K

 

Ich weiß ja dass ich Zeilen vertauschen muss aber welche zeilen genau? kannst du das ganze ein wenig konkretisieren?
Bzw. Die hauptdiagonalen müssen immer 1 ergeben und die oberen und untere Zeilen immer 0
  ─   anonym 05.09.2021 um 09:23

a) und b) hab ich jetzt ausgebessert. Die sollten jetzt passen, c mach ich noch   ─   anonym 05.09.2021 um 09:34

c) hab ich auch noch probiert. Ist der Ansatz bei c) korrekt??   ─   anonym 05.09.2021 um 09:55

Die Stufen, die du als Hilfestellung anfangs einzeichnest, müssen am Ende so sein (mehr oder weniger, wie a) und b) zeigen und es gibt noch mehr Fälle)
D.h. du arbeitest systematisch darauf hin, dass in der ersten Zeile ALLES besetzt ist und von Zeile zu Zeile eine Null vorne mehr erscheint.
Ordne gleich zu Anfang die Zeilen so an, dass nach unten hin immer mehr Nullen sind.
Dann werden von oben nach unten die Zeilen paarweise miteinander kombiniert, die die gleiche Nullenzahl vorne haben. Die obere Zeile wird dabei beibehalten, die zweite hat danach eine Null mehr.
Hat man dir das Gauss-Verfahren von Anfang an systematisch beigebracht oder suchst du (chaotisch) nach günstigen Kombinationen? Manche Mathelehrer machen daraus eine Challenge (um ihre Überlegenheit zu zeigen), statt ein geordnetes Verfahren beizubringen (wer dann mehr sieht, kann selbst Vorteile suchen).
  ─   monimust 05.09.2021 um 09:58

c) die letzte Zeile muss an die erste (besser) oder die zweite Stelle
Und dann musst du natürlich alles auf Stufenform bringen, d.h. die " schönen" Zeilen darunter verändern sich wieder.
  ─   monimust 05.09.2021 um 10:00

Monimust, ich bin jetzt systematisch vorgegangen bei a und b.
Sind die Rechnungen jetzt richtig?
  ─   anonym 06.09.2021 um 13:58

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du kannst nicht \(z_2\leftarrow z_2-z_3\) und \(z_3\leftarrow z_3-z_2\) mit denselben Zeilen bilden!
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Lehrer/Professor, Punkte: 4.2K

 

Gerdware, ist aber die b) richtig?
a) hab´ich jetzt ausgebessert. Ich hoffe so sehr, dass es diesmal passt
  ─   anonym 06.09.2021 um 17:56

Bei der b) ist ja genau dasselbe Problem, aber die a) sieht schon besser aus.   ─   cauchy 06.09.2021 um 18:45

Also ist a) richtig? Kann ich‘s besser machen oder passt das so? Also vom System her   ─   anonym 06.09.2021 um 18:53

Ja, a) passt. Sinnvoller wäre es aber gewesen $z_3 \rightarrow z_3-z_2$ direkt zu rechnen, dann hättest du dir das Tauschen der Zeilen gespart.   ─   cauchy 06.09.2021 um 19:01

Vielen lieben Dank cauchy!
b) hab ich auch noch verbessert. Könntest du mir eine kurze Rückmeldung geben
  ─   anonym 06.09.2021 um 20:09

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Perfekt. Ich würde aber immer schauen, dass du die oberste Zeile als Pivotzeile nimmst. Dann braucht man nämlich nur wenige Umformungen: $z_2 \rightarrow az_2 + bz_1$, $z_3\rightarrow cz_3 + dz_1$ und $z_3 \rightarrow ez_3+fz_2$ (wobei $a,\dots ,f$ die passenden Zahlen sind). Dadurch kannst du solche Fehler wie vorher vermeiden.   ─   cauchy 06.09.2021 um 20:22

Okay, mache ich, danke dir!
Und c) hab ich jetzt auch noch probiert, aber irgendetwas ist hier falsch. Der Ansatz sollte doch so passen, oder?
  ─   anonym 08.09.2021 um 18:37

Die erste Umformung passt natürlich nicht. Du brauchst nur $z_3\rightarrow 2z_3-z_1$.   ─   cauchy 08.09.2021 um 20:27

Ja, so hab ich´s auch gerechnet, aber trotzdem mach ich da was falsch.
Welche Zeilen soll ich als nächstes kombinieren?
Hab ich die Stufe in blau richtig eingezeichnet? Bei 4 endet meine Stufe, ist das so richtig?
Oder sollte bei 0 auch eine „Treppe“ sein?
  ─   anonym 09.09.2021 um 17:10

Nein, hast du nicht gerechnet. Schau dir die zweite Zahl an. Da steht -6. Aber $-2\cdot 2 - 1=-5$.   ─   cauchy 09.09.2021 um 21:36

Auch wenn ich´ s so rechne komme ich nicht auf das richtige Ergebnis. Oben hab ich wieder ein Bild hochgeladen.
Und stimmen eigentlich die Stufen (in blau markiert)? Meine Stufe endet bei 4. Kann das so stimmen? Oder muss die Stufe bei 0 enden?
  ─   anonym 10.09.2021 um 19:13

Du bist ja noch gar nicht fertig. Unterhalb deiner Stufen sind ja noch Zahlen ungleich 0.   ─   cauchy 10.09.2021 um 19:17

Ja aber wenn ich die Zahlen ungleich 0 wegbringe dann entsteht wieder das gleiche Problem. Dann bekomme ich bei den anderen Spalten irgendwelche zahlen die ungleich 0 sind. Und das geht so weiter   ─   anonym 10.09.2021 um 19:34

Nicht wenn du mit Strukur vorgehst, was hier auch schon gesagt wurde. Die zweite Zeile von der dritten abziehen, die dritte dann von der vierten abziehen usw. Die Umformungen hast du auf deinem Bild sogar aufgeschrieben, aber ausgerechnet hast du sie nicht.... warum nicht?   ─   cauchy 10.09.2021 um 19:53

Ich dachte die Umformungen sind falsch, weil ich nie eine Zahl ungleich 0 unterhalb der 1 bekomme. Aber ich bin doch systematisch vorgegangen oder etwa nicht?
Aber warte ich rechne es erneut. Ich will’s unbedingt lösen
  ─   anonym 10.09.2021 um 20:09

Unterhalb von welcher 1 willst du denn eine 0 haben?   ─   cauchy 10.09.2021 um 20:18

Geh systematisch von oben nach unten.
Sortiere zwischendrin um (muss nicht sein, erleichtert aber den Überblick)
Es darf nicht bleiben, wenn eine "steile Stufe" entstanden ist. Die beiden Zeilen müssen kombiniert werden zur " normalen Treppe"
Es ist normal, dass bereits erzeugte Nullen dadurch wieder verschwinden. Dann muss man eben weiterrechnen.
Wenn du die Zeilen nicht durcheinander kombinierst, sondern von oben nach unten, kann eine Null vorne nicht mehr zerstört werden, da oberhalb auch nur 0en sind
  ─   monimust 10.09.2021 um 20:37

Ja, aber ist die Stufe richtig eingezeichnet worden? Ich hab s farbig markiert   ─   anonym 11.09.2021 um 13:35

Im Prinzip ja, es geht ja eigentlich nicht anders. Es kann nur vorkommen, dass du zum Schluss breitere Stufen hast, wenn ein System nicht eindeutig lösbar ist.
Besser als das Festhalten an eingezeichneten Stufen wäre, einfach von oben nach unten immer eine Null mehr zu erzeugen und das fertige Schema zu interpretieren.
  ─   monimust 11.09.2021 um 13:54

Okay, danke. Ich hab oben wieder was gepostet. Ich hab’s irgendwie immer noch nicht lösen können. Was mach ich da falsch?   ─   anonym 11.09.2021 um 14:06

Was ich nicht weiß, ist ob du immer wieder rumbastelst oder ob du irgendwann mal von anfang an durchgerechnet hast mit einer strukturierten Vorgehensweise. Was ich auch nicht weiß ist, ob das bis hierher richtig ist. Aber Zeile 2 und 3 haben noch immer eine " hohe " Stufe, also beide nur eine 0 vorne, daher müssen sie miteinander kombiniert werden. (2) bleibt dabei und die neue (3) bekommt eine Null mehr.
Was ich dir aber dringend raten würde (du stolpert mit diesem besonderen System zu sehr durch die Landschaft) ist, zunächst mal das Vorgehen mit 3Variablen, 3 Zeilen bzw. 4 Variablen, 4 Zeilen zu üben. Und sich über das Aussehen von mehrdeutig lösbaren LGS zu informieren. Erst wenn man da sicher ist, sollte man sich an deine Aufgabe wagen.
  ─   monimust 11.09.2021 um 14:18

Das Problem ist, dass wir das genau so besprochen haben. Im Unterricht sind wir auch so vorgegangen. Das ganze Wissen habe ich versucht hier anzuwenden, aber anscheinend muss ich mir das ganze nochmal anschauen.   ─   anonym 12.09.2021 um 11:00

Es ist tatsächlich so, dass man schwierigere oder ungewöhnliche Aufgaben mit Erfahrung leichter löst als wenn man sich stur an den Algorithmus hält. Dazu muss man aber bestimmte Situationen erkennen/sehen und dafür braucht es (wie überall in der Rechenkunst) Übung. Es dürfte auch nicht wirklich hilfreich für dich sein, wenn du diese Lösung zwar nachvollziehen kannst, eigenständig aber ähnliche Aufgaben nicht bearbeiten.   ─   monimust 12.09.2021 um 11:09

Ich hab da mal was probiert. Ich hab im Internet recherchiert und habe die Aufgabe auf eine andere Art und Weise versucht zu lösen, also von links nach rechts und von oben nach unten.   ─   anonym 12.09.2021 um 16:28

Ohne jetzt die einzelnen Schritte geprüft zu haben, schaut das doch sehr gut aus. Am Ende kommt tatsächlich die Einheitsmatrix raus.   ─   cauchy 12.09.2021 um 16:29

Vielen Dank! Also soll ich immer von links nach rechts und von oben nach unten rechnen?   ─   anonym 12.09.2021 um 17:11

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