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Aufgabe:

Sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum mit Basis B = (v1 , ..., vn ) und W ein zu V isomorpher K-Vektorraum. Wir definieren die Abbildungen

Φ : {f: V → W K-Vektorraum Isomorphismus} → {C Basis von W}, f ↦ (f(v1), ..., f(vn)) 

und

ψ: {C Basis von W} → {f: V → W K-Vektorraum Isomorphismus}, C:= (w1 , ..., wn )↦(K-lineare Abbildung f: V → W mit f(vi ) = wi )

 

Zeigen Sie:

(a) Φ ist wohldefiniert, d.h.(f(v1), ..., f(vn)) ist eine Basis von W.

(b) ψ ist wohldefiniert, d.h. die lineare Abbildung f ist ein Isomorphismus.

(c) Φ ist die Umkehrabbildung zu ψ.

Ich weiß leider nicht so ganz wie ich das machen soll

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1 Antwort
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Mit der Linearität kannst du ganz einfach nachweisen, dass die Vektoren linear unabhängig sind. Dass es sich dabei dann um eine Basis handelt folgt unmittelbar durch die Anzahl der Vektoren. Bei den anderen Aufgaben musst du nur die geforderten Eigenschaften durchgehen. Weißt du, welche Bedingungen hier alle erfüllt sein müssen?
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Student, Punkte: 4K

 

Da bin ich mir nicht sicher. Und wie genau kann ich mit der Linearität zeigen, dass die Vektoren linear unabhängig sind?   ─   user4e3d2f 09.07.2021 um 21:15

Da \(v_1,\ldots v_n\) eine Basis bilden gilt \(\lambda_1 v_1+\ldots +\lambda_n v_n=0 \Rightarrow \lambda_1=\ldots =\lambda_n=0\) und \(f(\lambda_1 v_1)+\ldots +f(\lambda_n v_n)=\lambda_1 f(v_1)+\ldots+\lambda_n f(v_n)=0\)   ─   mathejean 09.07.2021 um 21:25

Für die b müsste ich ja zeigen, dass f bijektiv, da gilt eine bijektive lineare Abbildung heißt Isomorphismus.

Aber was genau muss ich bei der c zeigen?
  ─   user4e3d2f 10.07.2021 um 13:36

\(\phi \circ \Phi = \Phi \circ \phi = \text{id}\)   ─   mathejean 10.07.2021 um 13:48

Ich steh auf dem Schlauch, wie zeig ich das denn?   ─   user4e3d2f 10.07.2021 um 17:00

\(\phi(\Phi(x))=x=\Phi(\phi(x))\)   ─   mathejean 10.07.2021 um 17:20

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