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Das ist alles in Ordnung, es geht halt so, weil es alles Polstellen 1. Ordnung sind.
Zu den Laurent-Reihen: Die komplette Laurent-Reihe aufzustellen für diese Funktionen ist kompliziert. Ist ja auch für das Residuum nicht nötig.
Ein Weg zum Residuum mit Laurent-Reihe, ohne Formel:
\(f(x)=\frac1{\sin x}\) um \(z_0=0\). \(f\) hat in \(z_0\) einen Pol der Ord 1, denn \(g(z)=z\, f(z)=\frac{z}{\sin z}\) hat in \(0\) keine Polstelle mehr (l'Hospital), also hat \(g\) eine Reihenentwicklung der Form \(g(z)=\sum\limits_{i=0}^\infty a_iz^i\) mit \(a_0=g(0)=1\) (die 1 ist der Grenzwert aus dem l'H). Unsere Funktion \(f\) hat dann die Laurent-Reihe
\(f(z)=\frac1z g(z)=\sum\limits_{i=0}^\infty a_iz^{i-1}= \sum\limits_{i=-1}^\infty a_{i+1}z^i\) und der Koeffizient darin von \(z^{-1}\), das Residuum, ist \(a_0=1\).
Zu den Laurent-Reihen: Die komplette Laurent-Reihe aufzustellen für diese Funktionen ist kompliziert. Ist ja auch für das Residuum nicht nötig.
Ein Weg zum Residuum mit Laurent-Reihe, ohne Formel:
\(f(x)=\frac1{\sin x}\) um \(z_0=0\). \(f\) hat in \(z_0\) einen Pol der Ord 1, denn \(g(z)=z\, f(z)=\frac{z}{\sin z}\) hat in \(0\) keine Polstelle mehr (l'Hospital), also hat \(g\) eine Reihenentwicklung der Form \(g(z)=\sum\limits_{i=0}^\infty a_iz^i\) mit \(a_0=g(0)=1\) (die 1 ist der Grenzwert aus dem l'H). Unsere Funktion \(f\) hat dann die Laurent-Reihe
\(f(z)=\frac1z g(z)=\sum\limits_{i=0}^\infty a_iz^{i-1}= \sum\limits_{i=-1}^\infty a_{i+1}z^i\) und der Koeffizient darin von \(z^{-1}\), das Residuum, ist \(a_0=1\).
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mikn
Lehrer/Professor, Punkte: 38.93K
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Hallo! Danke vielmals für dein Feedback und deine Hilfe, ich glaube ich verstehe es jetzt! :)
─
k.kiehl
12.02.2021 um 13:33
Hallo, Ich hab noch ein ähnliches Beispiel angehängt, wo ich leider nicht weiß, wie man auf das Ergebnis kommt. Vielleicht kannst du mir da wieder weiterhelfen? :) Danke schon im Voraus!
─
k.kiehl
12.02.2021 um 14:29
Danke für deine Hilfe! Ich muss das alles nochmal durchdenken, aber ich glaube ich verstehe jetzt wie es geht. :)
─
k.kiehl
15.02.2021 um 23:28
Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden.
Mikn wurde bereits informiert.
Ich hab hier einfach die Formel zur Berechnung des Residuums angewendet, die Laurentreihe zu bilden, da komm ich leider nicht weiter. Selbstverständlich würde ich mich über entsprechende Lösungsvorschläge mittels der Laurententwicklung auch unheimlich freuen! :)
Lg ─ k.kiehl 12.02.2021 um 11:20