Residuen Berechnen

Erste Frage Aufrufe: 82     Aktiv: 15.02.2021 um 23:28

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Liebe Community,

Ich lerne grad für meine Mathematik Prüfung (für Maschinenbau) und eines der Hauptthemengebiete dabei ist die Komplexe Funktionentheorie. Dabei scheitert es mir manchmal schon am Berechnen des Residuums einer komplexen Funktion. Grundsätzlich verstehe ich die Vorangehensweise mit der Laurentenwicklung bzw. der Formel, aber bei manchen Beispielen geht das irgendwie anders. 
Da ich auch zum Teil unvollständige Lösungen zu den Beispielen habe, wäre es voll toll, wenn jemand am besten Schritt für Schritt (idiotensicher) folgende Beispiele vorrechnen könnte: 

Man soll das Residuum der Funktionen an ihren Polstellen bestimmen:
a) f(z) = 1/ {sin(z)}
b) f(z) = 1/ {1- (e^(z)}
c) f(z) = z/ {1 - cos(z)}

Ich komme im Übrigen bei allen auf das richtige Ergebnis (nachgeprüft mit Wolfram Alpha), aber beim Rechenweg bin ich mir nicht ganz sicher, ob ich das so machen darf.

Danke schon im Voraus!
kiehl

Neues Beispiel, wo ich nicht verstehe, wie man auf das Ergebnis kommt, vielleicht kann da jemand mir noch weiterhelfen: 
gefragt

Punkte: 12

 

Das beste ist, Du lädst Deine Lösung hier hoch ("Frage bearbeiten", "Bild hochladen") und sagst genau, welche die unklaren Schritte sind. Dann klären wir das.   ─   mikn 11.02.2021 um 22:29

Danke für deinen Vorschlag! Ich glaube, ich bin der Lösung ein bisschen näher gekommen, ich bin mir aber nicht 100% sicher und wäre daher über ein Feedback, ob mein Rechenweg auch wirklich so stimmt, unheimlich dankbar!
Ich hab hier einfach die Formel zur Berechnung des Residuums angewendet, die Laurentreihe zu bilden, da komm ich leider nicht weiter. Selbstverständlich würde ich mich über entsprechende Lösungsvorschläge mittels der Laurententwicklung auch unheimlich freuen! :)
Lg
  ─   k.kiehl 12.02.2021 um 11:20

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1 Antwort
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Das ist alles in Ordnung, es geht halt so, weil es alles Polstellen 1. Ordnung sind.
Zu den Laurent-Reihen: Die komplette Laurent-Reihe aufzustellen für diese Funktionen ist kompliziert. Ist ja auch für das Residuum nicht nötig.
Ein Weg zum Residuum mit Laurent-Reihe, ohne Formel:
\(f(x)=\frac1{\sin x}\) um \(z_0=0\). \(f\) hat in \(z_0\) einen Pol der Ord 1, denn \(g(z)=z\, f(z)=\frac{z}{\sin z}\) hat in \(0\) keine Polstelle mehr (l'Hospital), also hat \(g\) eine Reihenentwicklung der Form \(g(z)=\sum\limits_{i=0}^\infty a_iz^i\) mit \(a_0=g(0)=1\) (die 1 ist der Grenzwert aus dem l'H). Unsere Funktion \(f\) hat dann die Laurent-Reihe
\(f(z)=\frac1z g(z)=\sum\limits_{i=0}^\infty a_iz^{i-1}= \sum\limits_{i=-1}^\infty a_{i+1}z^i\) und der Koeffizient darin von \(z^{-1}\), das Residuum, ist \(a_0=1\).
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Hallo! Danke vielmals für dein Feedback und deine Hilfe, ich glaube ich verstehe es jetzt! :)   ─   k.kiehl 12.02.2021 um 13:33

Hallo, Ich hab noch ein ähnliches Beispiel angehängt, wo ich leider nicht weiß, wie man auf das Ergebnis kommt. Vielleicht kannst du mir da wieder weiterhelfen? :) Danke schon im Voraus!   ─   k.kiehl 12.02.2021 um 14:29

Das ist eben etwas anders, weil in 0 eine Polstelle 2. Ord. ist (denn \(g(z)=z^2f(z)\to 2\)). Das kannst Du mit obiger Überlegung zur L-Reihe machen, die Taylor-R von \(g\)verschiebt sich dann um 2 nach unten und wird zur L-Reihe von \(f\). Das Residuum ist dann der Koeff. a_1 aus der Taylor-R von \(g(z)=z^2f(z)\), also \(g'(0))\) (oder mit Deiner Formel, kommt dasselbe raus, mit l'H).   ─   mikn 12.02.2021 um 14:56

Noch eine Ergänzung, wie man ganz schnell auf die 0 kommt, ohne Ableiten. Es geht ja darum die Taylor-R von \(g(z)=z^2f(z)\) zu finden. \(f\) ist aber eine gerade Funktion, d.h. in der Taylor-R treten nur Potenzen \(z^k\) mit \(k\) gerade auf, d.h. \(a_k=0\) für alle ungeraden \(k\). Durch die Verschiebung um 2 nach unten wird das die L-R von \(f\), diese Eigenschaft bleibt also erhalten. Wir suchen \(a_1\), da aber \(-1\) ungerade ist, ist \(a_{-1}=0\) (\(a_{-1}\) ist das, was vor dem Verschieben \(a_1\) war).   ─   mikn 12.02.2021 um 15:48

Danke für deine Hilfe! Ich muss das alles nochmal durchdenken, aber ich glaube ich verstehe jetzt wie es geht. :)   ─   k.kiehl 15.02.2021 um 23:28

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