Interpolationspolynom vom Grad k

Aufrufe: 177     Aktiv: 08.01.2024 um 13:01

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Sei Pk der Raum der Polynome über R vom Grad ≤ k ∈ N0. Sei pi,k ∈ Pk das ein-
deutig bestimmte Interpolationspolynom vom Grad k zu den Wertepaaren (xi, yi), . . . , (xi+k, yi+k).Dann gilt folgende Rekursionsformel:
(i) pi,0(x)=yi für i = 0, ..., n,
(ii) pi,k(x)=pi,k−1(x) +(x−xi/xi+k −xi) (pi+1,k−1 (x) − pi,k−1 (x)) ,für i = 0, ..., n − k.

Damit lässt sich das Interpolationspolynom p0,n(x) zu den Wertepaaren (x0, y0), . . . , (xn, yn) an einem Punkt x auswerten, ohne die Koeffizienten des Polynoms explizit zu berechnen.
Für verschiedene Orte wurde an einem bestimmten Tag die Tageslänge gemessen:
Ort,Tageslänge,Lage
A ,17h 28m ,55,7
B ,18h 00m ,57,7
C ,19h 56m ,62,6
D ,22h 34m ,65,6

Man bestimme die Tageslänge am Ort E bei 61,7‌ durch Auswertung des zugehörigen Interpolationspolyoms mit Hilfe des Neville-Schemas (Es genügt 4-stellige Dezimalrechnung).Tipp: Rechnen Sie in Minuten.


Meine Lösung war

Um die Tageslänge am Ort E bei 61,7° zu bestimmen, können wir das Neville-Schema und die gegebene Rekursionsformel verwenden. Zuerst müssen wir die gegebenen Daten in Minuten umrechnen, da die Tageslängen in Stunden und Minuten gegeben sind.
Ort A: 17h 28m = 17 * 60 + 28 = 1048 Minuten
Ort B: 18h 00m = 18 * 60 = 1080 Minuten
Ort C: 19h 56m = 19 * 60 + 56 = 1196 Minuten
Ort D: 22h 34m = 22 * 60 + 34 = 1354 Minuten
Nun haben wir die Datenpaare (xi, yi):
(55,7, 1048)
(57,7, 1080)
(62,6, 1196)
(65,6, 1354)

Wir wollen die Tageslänge am Ort E bei 61,7° berechnen. Dafür setzen wir die Daten in das Neville-Schema ein und verwenden die gegebene Rekursionsformel. Der Punkt (61,7,?) wird durch das Interpolationspolynom bestimmt.
(55,7) ,(57,7) ,(62,6),(65,6)
p0,0 p1,1 p2,2 p3,3
p0,1 p1,2 p2,3
p0,2 p1,3
p0,3
p0,4


p0,1(61.7)=1048+ (61.7−55.7/ 57.7−55.7)⋅(1080−1048) =1144
p1,2(61.7)=1080+ (61.7−57.7/62.6−57.7).(1196−1080) = 1174.7
p2,3(61.7) = 1148.6

Wir haben bereits den Wert für p0,3(61.7)≈1148.6 erhalten. Beachten , dass dies der gesuchte Wert für die Tageslänge am Ort E bei 61,7° ist. In diesem Fall haben wir die Werte p0,1(61.7),p1,2(61.7) und p2,3(61.7)verwendet, um diesen Wert zu interpolieren.


Das Endergebnis ist also 1148.6,was 19 Stunden und 8.6 entspricht. Daher beträgt die Tageslänge am Ort E bei 61,7° ungefähr 19Stunden und 8.6 Minuten.



kann jemand mir sagen ob meine lösung i.O ist oder es gab fehler!

Danke

EDIT vom 07.01.2024 um 15:00:

Um die Tageslänge am Ort E bei 61,7 zu bestimmen, können wir das Neville-Schema und die gegebene Rekursionsformel verwenden. Zuerst müssen wir die gegebenen Daten in Minuten umrechnen, da die Tageslängen in Stunden und Minuten gegeben sind.
Ort A: 17h 28m = 17 * 60 + 28 = 1048 Minuten
Ort B: 18h 00m = 18 * 60 = 1080 Minuten
Ort C: 19h 56m = 19 * 60 + 56 = 1196 Minuten
Ort D: 22h 34m = 22 * 60 + 34 = 1354 Minuten
Nun haben wir die Datenpaare (xi, yi):
(55,7, 1048)
(57,7, 1080)
(62,6, 1196)
(65,6, 1354)

Wir wollen die Tageslänge am Ort E bei 61,7 berechnen. Dafür setzen wir die Daten in das Neville-Schema ein und verwenden die gegebene Rekursionsformel. Der Punkt (61,7,?) wird durch das Interpolationspolynom bestimmt.
(55,7) ,(57,7) ,(62,6),(65,6)
p0,0     p1,1    p2,2     p3,3
p0,1     p1,2    p2,3
p0,2     p1,3
p0,3
p0,4


p0,1(61.7)=1048+ (61.7 - 55.7/ 57.7 - 55.7).(1080 -1048) = 1144
p1,2(61.7)=1080+ (61.7 - 57.7/62.6 - 57.7).(1196 - 1080) = 1174.7
p2,3(61.7) = 1196+ (61.7 - 62.6/65.6 - 62.6) .(1354- 1196)=1148.6

Wir haben bereits den Wert für p0,3 (61.7) = 1148.6 erhalten. Beachten , dass dies der gesuchte Wert für die Tageslänge am Ort E bei 61,7 ist. In diesem Fall haben wir die Werte p0,1(61.7),p1,2(61.7) und p2,3(61.7) verwendet, um diesen Wert zu interpolieren.

Das Endergebnis ist also 1148.6,was 19 Stunden und 8.6 entspricht. Daher beträgt die Tageslänge am Ort E bei 61,7 ungefähr 19Stunden und 8.6 Minuten.

EDIT vom 07.01.2024 um 15:04:



das was wir genommen haben, aber ich hab das thema von youtube gelernt, ich glaube am Ende es gleich ist
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Ich kenne das Schema, und klar, am Ende sollten alle Versionen das gleiche Ergebnis liefern. Aber nach diesem Schema (Foto) bist Du ja nicht vorgegangen, es gibt hier ja kein $h$. Siehe auch den Edit unten.   ─   mikn 07.01.2024 um 15:12
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1 Antwort
1
Ich komme am Ende auf 1165.1.
Deine NV-Schema ist sowohl allgemein als auch in Deiner Rechnung nicht lesbar (es schadet nicht, vor dem Posten nochmal durchzulesen). Insofern kann ich nicht sagen, wo Du Dich verrechnet hast.
Generell sind $p_{i0}$ die geg. y-Werte und der gesuchte Werte ist hier $p_{03}$. Poste mal ein Foto der allgemeinen Formel und Deiner Rechnung (oben "Frage bearbeiten"), dann schau ich mir das an.
PS: Es scheint, dass Du das Schema richtig gerechnet hast. Nur hast Du am Ende $p_{23}$ als Ergebnis angegeben. Das Endergebnis ist aber $p_{03}$, da fehlt also noch was.
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ich hab meine lösung wiederholt und kame ich :

p0,1 = 1048 + (61,7-55,7) / (57,7-55,7) . (1080-1048) = 1064
p1,1 = 1080 + (61,7-57,7) / (62,6-57,7) . (1196-1080) = 1109,89
p2,1 = 1196+ (61,7-57,7) / (62,6-57,7) . (1345-1196) = 1245,71
p0,2 = 1064+ (61,7-55,7) / (62,6-57,7) . (1109,89-1064) = 1196,14
p1,2 = 1109,89+ (61,7-57,7) / (65,6-57,7) . (1245,71-1109,89) = 1174,22
p0,3 = 1109,89+ (61,7-55,7) / (65,6-57,7) . (1174,22-1096,14) = 1124,46
  ─   abdull 08.01.2024 um 11:37

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Nach meiner Rechnung falsch.   ─   mikn 08.01.2024 um 13:01

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