deine frage beantwortest du eigentlich schon ganz gut selbst, vermischst dabei aber ein paar dinge miteinander. generell gilt für jeden Körper \(K\), dass \( K^{n \cdot m} \cong K^{n \times m}\). versuch dir dafür mal einen isomorphismus zu überlegen.
Die beiden genannten elemente sind natürlich nicht direkt mengen. Aber klar, wegen des isomorphismus kann man die objekte auf beide arten schreiben ohne dass sich der sinn des ausdrucks ändert (zumindest solange der isomorphismus gegeben oder bekannt ist, da es mehrere möglichkeiten für die wahl eines isomorphismus gibt) - in dem sinne sind sie also identisch. wobei man natürlich gut aufpassen muss, da durch die verschiedenen schreibweisen die multiplikation mit diesem objekt je nach darstellung sehr unintuitiv sein könnte.
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R2X2 und R4 haben die gleiche Dimension, also liegt ein Isomorphismus vor R2x2≅R4 ? ─ sokoviaaccords 08.12.2020 um 17:12
f(x+y) = f (x) + f(y)
f(Skalar*x) = Skalar * f(x) ist,
nur ich weiß noch noch nicht, wie ich das mit meiner Matrix 2X2 und einem meiner Vektoren des R4 nachweisen kann
Also damit weise ich nach dass die Abbildung linear ist und ich denke mal das ist der Schlüssel oder? ─ sokoviaaccords 08.12.2020 um 17:17
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}\right) := \begin{pmatrix}
a \\ b\\
c \\ d
\end{pmatrix}\)
Man kann durch nachrechnen ermitteln, dass die abbildung sowohl linear als auch bijektiv ist. deshalb kann man die matrix als vektor schreiben oder umgekehrt ─ b_schaub 08.12.2020 um 18:04
Wenn ich Matrix 2X2 {2(a),-2(b),1(c),-2(d)} und Vektor R4 {2,-2,1,-2} habe?
Tut mir leid, aber ich stehe da echt auf dem Schlauch ─ sokoviaaccords 08.12.2020 um 18:19
Tatsächlich ist der isomorphismus sogar so gewählt, dass die matrix \(M_1\) durch \(\Phi\) auch wirklich auf den vektor \(M_1\) abgebildet wird. ─ b_schaub 08.12.2020 um 19:21
Besten Dank!! ─ sokoviaaccords 10.12.2020 um 09:00
wir haben einen Raum W mit unseren Matrizen 2X2 , da die Kriterien (Addition, skalare Multiplikation) erfüllt sind bildet W einen Vektorraum. Dazu haben wir einen Vektorraum V mit unseren Vektoren des R4. Ich müsste beweisen, dass die Abbildung von R2X2 -> R4 linear ist und bijektiv, damit der Isormorphismus erfüllt ist. Aber wie ?
Oder war der 1. Ansatz richtiger? :-D ─ sokoviaaccords 08.12.2020 um 16:49