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Hallo zusammen, 
ich verstehe noch nicht so ganz den Unterschied zwischen dem Kern einer Matrix und der Basis des Kerns. 
Beim Kern löse ich doch einfach das Gleichungssystem A*x = 0, aber wie komme ich von da auf die Basis des Kerns?

Vielen Dank im Voraus!
Gruß!

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1 Antwort
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Deine Frage ist allgemeiner: Was ist der Unterschied zwischen einem Vektorraum und einer Basis des Vektorraums?
Ein Vektorraum ist eine Menge von Vektoren mit Operationen, die gewisse Eigenschaften erfüllen (Vektorraumaxiome). Eine Basis davon ist eine linear unabhängige Menge, die alle Vektoren im Vektorraum erzeugt. Zum Beispiel ist \(\mathbb R^2\) ein Vektorraum und \(\{\binom10,\binom01\}\) eine Basis dieses Vektorraums.
Bei der Aufgabe, ein lineares Gleichunggsystem, also den Kern eines Homomorphismus zu berechnen, sind meistens die Basisvektoren des Kerns gesucht, da es normalerweise keine einfachere Möglichkeit gibt, den Kern zu beschreiben, als als Linearkombination der Basisvektoren. Der Kern der Matrix \(\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\) ist beispielsweise \(\{\lambda\binom01\ |\ \lambda\in\mathbb R\}\), eine Basis dieses Kerns ist \(\binom01\).
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Okay das habe ich verstanden, aber mir ist noch nicht ganz klar was ich nun bei der Bestimmung des Kerns bzw. der Basis tun muss. Also beim Kern muss ich doch soweit ich weiß einfach die Matrix mal einem beliebigen Vektor (v1, v2, v3) nehmen und gleich 0 setzen. dann jeweils nach v1,2,3 auflösen, dann habe ich doch den Kern, richtig? Wenn ich jetzt aber die Basis des Kernes dieser Matrix bestimmen soll, was muss ich dann tun?

Danke für die schnelle Antwort!
  ─   stayyn 16.02.2021 um 15:07

Wenn du dann eine oder mehrere linear unabhängige Lösungen für \(v\) bekommst, dann sind diese Werte für \(v\) die Basis des Kerns und das Erzeugnis dieser Basis ist der Kern.   ─   stal 16.02.2021 um 15:09

Okay, d.h. die Basis sind einfach alle linear unabhängigen Vektoren des Kerns, richtig? Und mittels Dimensionssatz kann ich feststellen ob es einen oder mehrere gibt, richtig?   ─   stayyn 16.02.2021 um 15:57

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