Deine Frage ist allgemeiner: Was ist der Unterschied zwischen einem Vektorraum und einer Basis des Vektorraums?
Ein Vektorraum ist eine Menge von Vektoren mit Operationen, die gewisse Eigenschaften erfüllen (Vektorraumaxiome). Eine Basis davon ist eine linear unabhängige Menge, die alle Vektoren im Vektorraum erzeugt. Zum Beispiel ist \(\mathbb R^2\) ein Vektorraum und \(\{\binom10,\binom01\}\) eine Basis dieses Vektorraums.
Bei der Aufgabe, ein lineares Gleichunggsystem, also den Kern eines Homomorphismus zu berechnen, sind meistens die Basisvektoren des Kerns gesucht, da es normalerweise keine einfachere Möglichkeit gibt, den Kern zu beschreiben, als als Linearkombination der Basisvektoren. Der Kern der Matrix \(\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\) ist beispielsweise \(\{\lambda\binom01\ |\ \lambda\in\mathbb R\}\), eine Basis dieses Kerns ist \(\binom01\).