Ich benötige Hilfe bei folgender Aufgabenstellung:

Angabe:

Sei \(M_{n} = \{m_{1}, m_{2}, ..., m_{2n}\} \) die Menge an Schachspieler, die an einem Turnier teilnehmen. M enthält 2n Elemente.

Es sollen nun alle Schachspieler gleichzeitig spielen. Geben Sie die Anzahl der Möglichkeiten an, nennen wir diese \(D_{n}\), wie viele verschiedene Konstellationen gebildet werden können, d.h. auf wie viele verschiedene Arten kann die Menge M in Teilmengen der Größe 2 unterteilt werden.
Hinweis: Überlegen Sie sich, der erste Spieler hat ??? Möglichkeiten einen Spielpartner zu finden, der nächste "freie" Spieler hat ??? Möglichkeiten, . . .

Mir ist nicht klar, wie ich dies aurechnen soll. Ich habe schon von viele verschiedene Ansätzen gehört, die aber eben alle verschieden sind und nicht übereinstimmen.

Anfangs war mein Lösungsansatz \((\frac{2n} {2})! = n!\). Ich habe hier die Menge einfach durch 2 geteilt und dann die verschiedenen Kombinationen der beiden Teilmengen angegeben. So sind aber keine Konstellationen innerhalb dieser Mengen möglich. Diese Formel kann desshalb auch offensichtlich nicht stimmen, wenn man es mit einer Menge von 4 Personen probiert.

Ist \(M_4 = \{P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}\}\), so sind folgende Matches möglich:

P1 vs. P2 und P3 vs. P4
P1 vs. P3 und P2 vs. P4
P1 vs. P4 und P2 vs. P3