Ein Extremum liegt genau dann vor, wenn die Ableitung an der Stelle 0 ist und das Vorzeichen wechselt (die Funktion also ihr Steigungsverhalten ändert.) Also muss die Ordnung der Nullstelle der Ableitung für ein Extremum ungerade sein, ist sie gerade, dann liegt ein Sattelpunkt vor. 

Beim Ableiten verringert sich die Ordnung der Nullstelle um 1. Wenn die Nullstelle der ersten Ableitung erster Ordnung war, ist die zweite Ableitung dort nicht mehr 0, und du kannst sicher sagen, dass dort ein Extremum ist. Ist die zweite Ableitung aber immer noch 0, weißt du nicht, ob die Nullstelle zweiter, dritter, vierter, .... Ordnung war, und es ist nur die Parität, die über Extremum oder Sattelpunkt entscheidet. 

Es gibt drei Möglichkeiten, wie du vorgehen kannst. Sei \(f(x)=x^4, x_0=0.\)

• Du leitest so lange ab und setzt deinen kritischen Punkt ein, bis was rauskommt, was nicht 0 ist. Zum Beispiel ist \(f'(0)=f''(0)=f^{(3)}(0)=0,\) aber \(f^{(4)}(0)=24\neq0.\) Wenn das bei einer geraden Ableitung passiert, so wie hier, dann liegt ein Extremum vor, sonst ein Sattelpunkt.
• Du untersuchst die erste Ableitung auf Vorzeichenwechsel. Wechselt die Ableitung an der Nullstelle das Vorzeichen, dann liegt ein Extremum vor, sonst ein Sattelpunkt. \(f'(x)=4x^3\) wechselt bei 0 das Vorzeichen von - zu +, also ist es ein Extremum.
• Du untersuchst die zweite Ableitung auf Vorzeichenwechsel. Wechselt diese an der Nullstelle das Vorzeichen, liegt ein Sattelpunkt vor, sonst ein Extremum. \(f''(x)=12x^2\) wechselt nicht das Vorzeichen, denn das Quadrat ist immer positiv, folglich liegt ein Extremum vor. 

Welches Verfahren am besten ist, hängt von der Funktion und von der Aufgabenstellung ab. Wenn man beispielsweise sowieso die Funktion auf das Monotonieverhalten untersuchen soll, dann bietet sich die zweite Variante an. Im Allgemeinen würde ich von der ersten Variante abraten, da man nicht weiß, wie oft man ableiten muss und Ableitungen komplizierterer Funktionen sehr schnell hässlich werden können.