Ursprungsgerade senkrecht zum Graphen

Aufrufe: 81     Aktiv: 21.07.2022 um 22:59

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Frage nur zur Teilaufgabe b)


Bin ich so korrekt vorgegangen? Eine Variable "eliminieren" und dann einsetzen um die andere zu erhalten? Leider stimmt mein Resultat nicht mit den Lösungen überein. Siehe unten (nicht gut ersichtlich..)
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gefragt

Punkte: 181

 

Kann die Lösungen nicht hochladen, da beim Klick auf "bearbeiten" die Seite nicht mehr reagiert...
1. Lösung wäre x=0 und m=-1/2 , 2/3. Lösung ist m=1 oder m=1/3 (hier steht komischerweise nichts von x)?
Die Teilaufgabe gibt total 4 Punkte. 1P für Gleichungssystem, 1P für 1. Lösung und 2P für 2/3. Lösung. (ist von einer alten Abschlussprüfung)

Infos zum Gleichungssystem: Die erste Gleichung ist die Ermittlung des Schnittpunkts zwischen Ursprungsgerade und f und die zweite Gleichung ist der negative Kehrwert der Steigung gleich der ersten Ableitung von f (da orthogonal zu f)
  ─   nas17 21.07.2022 um 21:12

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Dass bei den Lösungen nichts von $x$ steht, ist klar. Gesucht sind ja nur die Gleichungen der Ursprungsgeraden, nicht aber die Schnittpunkte selbst.   ─   cauchy 21.07.2022 um 21:37

Stimmt. Dann ist es taktisch am schlausten, dass ich direkt x "eliminiere", um dann m zu erhalten (wenn nur m gesucht)   ─   nas17 21.07.2022 um 21:56
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2 Antworten
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Die erste Lösung mit $m=1$ stimmt, die zweite nicht. Da hast du dich beim $m$ verrechnet. In der Aufgabe steht außerdem gar nicht drin, dass die Lösung eindeutig ist. Dir geht aber genau die Lösung mit dem Schnittpunkt an der Stelle $x=0$ verloren, weil du in deinem Gleichungssystem die erste Gleichung durch $x$ teilst. Das macht man in der Regel nicht und wenn, dann muss man hier explizit $x\neq 0$ annehmen und den Fall $x=0$ (der hier übrigens der einfachste ist) separat betrachten. Man kann sofort sehen, dass im Ursprung einer der Schnittpunkte liegt, so dass man sich die Berechnung mittels Gleichungssystem sparen kann. Man muss dann nur die Steigung vom Graphen von $f$ an dieser Stelle berechnen und hat damit dann sofort die Steigung für die gesuchte Ursprungsgerade. Wegen der Einfachheit der Lösung wurde auch diese Lösung vermutlich angegeben. 

Deine eigenen Lösungen kannst du übrigens immer durch eigenes Nachrechnen (Vergleich der Steigungen) selbst überprüfen. Dann hättest du auch gesehen, dass eine Lösung stimmt und die andere nicht.
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Selbstständig, Punkte: 23.75K

 

War anfangs verwirrt beim Überprüfen, da ich die Steigung am jeweiligen Punkt ja noch nicht kenne..?
x=0 und m=-1/2 ist nun klar. Beide sind im Ursprung, d.h. 1. Gleichung x=0 und dann in die zweite eingesetzt m=-1/2 (keine Ahnung, warum mir das beim Lösen nicht eingeleuchtet hat, habe mir die Teilaufgabe aufbewahrt da ich unsicher war). Das Vorgehen war das Problem, wie du schon gesagt hast, ist mir "geteilt durch x" seltsam vorgekommen, da ich normalerweise Gleichungen so nicht umforme.
Unklar ist mir, dass es genau 3 Lösungen gibt (welche man für die volle Punktzahl angeben muss). Wie weiss ich, dass ich nach meiner oberen Rechnung noch weitere mögliche Resultate für m erhalten werde? (klar, x=0 --> m=-1/2 hätte ich direkt erkennen müssen)

EDIT: habe es nun verstanden :) Danke für die Hilfe!
  ─   nas17 21.07.2022 um 22:06

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Die beiden anderen ergeben sich ja durch deine Rechnung. Durch die Division durch $x$ hast du aber den Fall $x=0$ nicht berücksichtigt. ;)   ─   cauchy 21.07.2022 um 22:49

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Mach Dir erst (vor dem Rechnen!) klar, was gesucht ist. Hier die Geradengleichung. Wozu also die Bestimmung von x? In der Klausur ist das verschenkte Zeit.
Deine Gleichung für $m$, nämlich $3m^2-4m+1=0$ ist richtig.
Ich benutze selbst - und empfehle - quadratische Ergänzung. pq-Formel ist immer fehlerträchtig, wie auch Deine Rechnung zeigt....
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Lehrer/Professor, Punkte: 26.65K

 

Da wurde zu schnell in den TR eingetippt (wäre im Kopf wohl besser gegangen :D). Die quadratische Ergänzung benutze ich tatsächlich nie, muss ich mir mal wieder anschauen.
Stimmt, x ist hier gar nicht gefragt. Bei x=0 um m=-1/2 muss ich jedoch x kennen, um m zu erhalten? Sprich ich sehe, dass es einen Schnittpunkt im Usprung geben muss, somit x=0, und eingesetzt in die zweite Gleichung m=-1/2 gibt. Wie weiss ich, ob ich nun genügend m berechnet habe? Gemäss Punkteverteilung hätte z.B. die Lösung m=-1/2 inkl. Gleichungssystem nur die Hälfte der Punkte gegeben
  ─   nas17 21.07.2022 um 22:11

Eintippen in TR ist auch fehlerträchtig. Du fängst ja richtig an. Beim Dividieren durch x muss der Fall x=0 abgearbeitet werden, der führt zum ersten m. Danach, also im Fall $x\neq 0$, kommst Du mit sauberen Umformungen (heißt Äquivalen-Umformungen) auf die obige quadratische Gleichung für m. Das gibt zwei weitere Lösungen. Fertig.   ─   mikn 21.07.2022 um 22:20

Achso, da man nicht durch 0 teilen darf muss man dies zwingend überprüfen. Bei dieser Aufgabe einfach da x=0.

Mir fiel diese Aufgabe schwer, da ich nicht weiss, welche Steigung an einem Punkt ist und die Punkte dort auch gar nicht gefragt ist. Bis anhin gab es immer nur Aufgaben wo stand, dass z.B. die orthogonale Gerade zur Steigung im Punkt P(x,y) gesucht wird. Hier ist es allgemeiner gehalten, durch das Gleichungssystem erhalte ich stets "m" (Steigung), welche orthogonal ist, da ich das so definiert habe (durch negativen Kehrwert in der zweiten Gleichung)?
  ─   nas17 21.07.2022 um 22:34

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Dein Ansatz (mit mx=... und -1/m=...) war doch gut. Das ist auch nicht schwer, sondern nur ungewohnt (beachte den Unterschied). Bei Mathe-Aufgaben ist stets(!) ein guter Anfang, die Bedingungen math. zu formulieren (hier: Bed.1: schneidet, Bed.2: orthogonal). Dann hat man zwei Gleichungen und der Rest ist Standard.
Dass beim Dividieren durch 0 eine Fallunterscheidung ansteht, ist grundlegendes Handwerkszeug in der Mathematik. Kommt in vielen Aufgaben vor.
  ─   mikn 21.07.2022 um 22:59

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