Die erste Lösung mit $m=1$ stimmt, die zweite nicht. Da hast du dich beim $m$ verrechnet. In der Aufgabe steht außerdem gar nicht drin, dass die Lösung eindeutig ist. Dir geht aber genau die Lösung mit dem Schnittpunkt an der Stelle $x=0$ verloren, weil du in deinem Gleichungssystem die erste Gleichung durch $x$ teilst. Das macht man in der Regel nicht und wenn, dann muss man hier explizit $x\neq 0$ annehmen und den Fall $x=0$ (der hier übrigens der einfachste ist) separat betrachten. Man kann sofort sehen, dass im Ursprung einer der Schnittpunkte liegt, so dass man sich die Berechnung mittels Gleichungssystem sparen kann. Man muss dann nur die Steigung vom Graphen von $f$ an dieser Stelle berechnen und hat damit dann sofort die Steigung für die gesuchte Ursprungsgerade. Wegen der Einfachheit der Lösung wurde auch diese Lösung vermutlich angegeben. 

Deine eigenen Lösungen kannst du übrigens immer durch eigenes Nachrechnen (Vergleich der Steigungen) selbst überprüfen. Dann hättest du auch gesehen, dass eine Lösung stimmt und die andere nicht.

Mach Dir erst (vor dem Rechnen!) klar, was gesucht ist. Hier die Geradengleichung. Wozu also die Bestimmung von x? In der Klausur ist das verschenkte Zeit.
Deine Gleichung für $m$, nämlich $3m^2-4m+1=0$ ist richtig.
Ich benutze selbst - und empfehle - quadratische Ergänzung. pq-Formel ist immer fehlerträchtig, wie auch Deine Rechnung zeigt....