Unbestimmtes Integral lösen

Aufrufe: 178     Aktiv: 01.03.2022 um 19:21

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In der folgenden Aufgabe (siehe Bild) soll das unbestimmte Integral gelöst werden. Ich sitze schon etwas länger an dieser Aufgabe und mir fehlt hier ein Ansatz. Als ich mich entschieden habe in die Lösung reinzuschauen (siehe 2. Bild), sind mehr Fragen als Antworten entstanden. Ich bin mir bewusst das man $cos^{2}(x) = \frac{1}{2}*(1+cos(2*x))$ schreiben kann, aber wie wurde das in der Lösung stehende Theorem von $cos(2x)$ genutzt? Jegliche Möglichkeit es einzusetzen, führte bei mir auf keine mir zu erkennende Grundintegral-Form. 
 
Lösung:

EDIT vom 28.02.2022 um 20:21:

Hier sind meine bisherigen Bemühungen:
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Student, Punkte: 39

 
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1 Antwort
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Das ist nicht die Lösung, sondern eine von vielen. Vom Nachvollziehen dieser Lösung lernst Du nichts.
Was hast Du selbst denn probiert? Kein Ansatz kann ich nicht recht glauben. Irgendwas wirst Du versucht haben - und wenn Du es geschafft hättest, wäre das die beste Lösung gewesen.
Also, was hast Du versucht, wie weit bist Du gekommen? Auf diesem Weg würde ich Dir gerne helfen.
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Lehrer/Professor, Punkte: 24.02K

 

Ich habe mein erstes Probieren als Bild reineditiert. Generell fallen mir die Aufgaben momentan sehr schwer. Dies gilt aber auch für meine Kommilitionen, die ich bereits zuvor befragt habe. Es ist mir noch nicht ersichtlich, wie ich vorausdenkend substituiere bzw. umforme.   ─   user8faafd 28.02.2022 um 20:31

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Geschicktes Integrieren ist eine Übungssache. Und geschicktes Substituieren erst recht. Finde aber gut, dass Du was ausprobiert hast und Du hast ja die Substitution auch richtig durchgeführt. Was cos(arcsin) ist, musstest Du sicher nachschlagen (müsste ich auch), ist aber ok.
Nur sieht es jetzt nicht wirklich besser aus als vorher. Aber Achtung: Das heißt nicht, dass Deine Substitution umsonst war. Solche Versuche tragen eben zur Übung bei.

Solch eine Substution ist schon etwas für Fortgeschrittene. Fällt Dir keine einfachere Integrationsregel ein, die Du ausprobieren könntest?
  ─   mikn 28.02.2022 um 21:29

Mit der partiellen Integration konnte ich nun mit der Produktaufteilung $cos(x) * (cos(x))^3$ (halte ich zumindest für optimaler als $(cos(x))^2 * (cos(x))^2$) als eigene Lösung zu einem Integral von $\frac{1}{2}* sin(2*x) * (cos(x))^2+\frac{3}{8}*x - \frac{3}{32} * sin(4*x)$ kommen. Ich bin noch am Rätseln wie ich diesen weiter vereinfachen kann. Solche Ausdrücke wie cos(arcsin) oder sin(arccos) stehen zwar bei uns nicht im Formelbuch, aber solche Substitutionen sind beispielsweise beim Lösen von Integranden wie $(sin(x))^5$ recht nützlich und in unseren Klausuraufgaben sogar manchmal, wenn explizit Vereinfachungen gefordert sind, für volle Punktzahl nötig. Dies gilt aber nur für solche Ausdrücke mit ungeraden Exponenten, weshalb mein erstes Probieren nicht geklappt hat.   ─   user8faafd 01.03.2022 um 18:43

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Ist doch prima, Deine Lösung ist richtig, was willst Du mehr?
Wenn die Aufgabe lautet "bestimme das folgende Integral", dann hast Du die Aufgabe 100% gelöst. Dass es anders geschrieben ist als in einer (von vielen) Musterlösungen, kann passieren, ändert aber nichts an der Richtigkeit.
Wenn die Aufgabe eine bestimmte Substitution zwingend vorschreibt, dann muss man sich für volle Punktzahl halt daran halten. Aber sonst: fertig.
  ─   mikn 01.03.2022 um 19:21

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