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Es ist $f:[0;1] \rightarrow [0,1] $ eine Funktion. Ich soll zeigen, dass f mit $f(x) = e^{g(x)-1}$ für jede stetige Funktion $g: [0,1] \rightarrow [0,1]$ einen Fixpunkt x (mit $x \in [0,1]$) besitzt, also $f(x)=x$ gilt.

Ich bin jetzt leider etwas verwirrt, angenommen ich wähle $g(x)=2x^2$, g ist offensichtlich stetig. Dann soll ja nach Aufgabenstellung ein x existieren, sodass $f(x)=x$ ist. Ich hab mir das mal geplottet und einfach mal die Funktion $e^{2x^2-1}=x$ durch diverse Rechengeräte laufen lassen, die mir unabhängig voneinander sagen, dass es da auch keine Lösung zu gibt. Das steht jetzt aber irgendwie im Widerspruch zu dem, was ich eigentlich zeigen soll. Ich bin mir relativ sicher, dass das nicht die Antwort ist, die da eigentlich erwartet wird, also gehe ich mal davon aus, irgendwo einen Logikfehler zu haben. Erkennt den vielleicht jemand und kann mir helfen?
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Dein gewähltes $g$ erfüllt nicht die Voraussetzung, denn $g([0,1])\not\subseteq [0,1]$. Dass $g$ das Intervall $[0,1]$ in sich abbildet, ist eine wesentliche Voraussetzung hier.
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