Hey,

ich habe mir noch keine genauen Gedanken bezüglich des Beweises gemacht, will nur vielleicht deinen Denkfehler beim Induktionsanfang beheben:

Du willst für \( n = 1 \) die Gleichheit zeigen. Dann hast du auf der rechten Seite wie du sagst die 3.

Auf der linken Seite, also der Summe, musst du jedoch erst für \( k = 0 \) den Summanden bestimmen, da hast du also 1 als Summand und für \( k = 1 \) kommst du auf 2 als Summand und zusammen ist das eben 3, was deinen Induktionsanfang klar stellt.

Vielleicht hilft dir das ja bereits weiter!

VG
Stefan

Du darfst \(k\) nicht fest wählen. \(k\) ist ja der Summationsindex, d.h. $$\sum_{k=0}^n2^k\binom nk=2^0\binom n0+2^1\binom n1+\ldots+2^n\binom n n.$$ Diese Gleichung hängt nur von \(n\) ab. Für \(n=1\) erhälst du \(2^0\binom 10+2^1\binom 11=1+2=3=3^1\), das stimmt also schon mal. Hilft dir das weiter?

P.S. Wenn du den Binomischen Lehrsatz kennst, dann gibt es einen viel einfacheren Weg als Induktion.