Punktweise und gleichmäßige Konvergenz

Aufrufe: 56     Aktiv: 04.02.2021 um 15:49

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Hallo zusammen,

ich muss die folgende Funktionenfolge auf gleichmäßige und punktweise Konvergenz untersuchen.
Leider weiß ich nicht, wie ich so etwas angehen soll.
Es wäre sehr nett, wenn jemand helfen könnte

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Punktweise Konvergenz ist eigentlich einfach: Wogegen konvergiert \(e^{-x/n}\) für \(n\to\infty\)? Unterscheide \(x=0\) und \(x\neq0\).
Für die gleichmäßige Konvergenz gibt es einen wichtigen Satz: Konvergiert \((f_n)_n\) gleichmäßig gegen \(f\) und sind alle \(f_n\) stetig, dann ist auch \(f\) stetig. Ist die Grenzfunktion stetig?
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bei der punktweisen konvergenz konvergiert die funktionenfolge gegen1 für beide fälle
aber woher weiß man ob sie stetig ist ?
  ─   lawena 04.02.2021 um 12:39

Ups, da hatte ich einen Denkfehler. Die Grenzwertfunktion ist einfach konstant 1, was stetig ist und uns damit nicht weiterhilft. Angenommen, die Konvergenz wäre gleichmäßig. Dann gäbe es für \(\varepsilon=\frac12\) ein \(N\in\mathbb N\), sodass \(|f_N(x)-1|<\frac12\) für alle \(x\). Allerdings gilt \(\lim_{x\to\infty}f_n(x)=0\) für alle \(n\), also gibt es für dieses \(N\) ein \(x\) mit \(|f_N(x)-0|<\frac12\), Widerspruch.   ─   stal 04.02.2021 um 12:47

ich hätte dazu noch eine Frage
wie kommt man darauf, dass e=1/2 ist ?
  ─   lawena 04.02.2021 um 12:54

Du überlegst dir zuerst, dass der Widerspruch zwischen der Konvergenz gegen 1 und dem Grenzwertverhalten gegen 0 auftritt, und dann schaust du, wie du das sauber aufschreiben kannst. Dazu solltest du ein \(\varepsilon\) wählen. Es funktioniert mit jedem \(\varepsilon<1\), aber \(\frac12\) fand ich wegen der Symmetrie ganz schön.   ─   stal 04.02.2021 um 13:02

warum geht die folge für x gegen unedlich gegen 0 ?   ─   lawena 04.02.2021 um 13:18

Für festes \(n\) und \(x\to\infty\) geht \(-\frac xn\to-\infty\), also \(e^{-x/n}\to0\)   ─   stal 04.02.2021 um 14:30

ahh, ok ja dankeschön   ─   lawena 04.02.2021 um 15:49

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