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In dieser Aufgabe wollen wir zeigen, dass die Gleichung
x^2 = exp(−x) für x ∈+0 = [0;+∞) (1)
x^2 = exp(−x) für x ∈+0 = [0;+∞) (1)
−x) für x ∈
+0 = [0;+∞) (1)eine eindeutige Lösung x0 besitzt, und wollen zudem eine rationale Approximation für x0
bestimmen. Hierzu gehen wir wie folgt vor:
(a) Wir betrachten die Funktion f : +0→, x → x^2 − exp(−x). Zeigen Sie, dass f
stetig und streng monoton wachsend ist, und berechnen Sie f(0) und f(1).
(b) Beweisen Sie mithilfe des Zwischenwertsatzes die Existenz einer Lösung x0 der Gleichung (1). Begründen Sie anschließend, warum diese Lösung eindeutig ist.
(c) Bestimmen Sie mithilfe des Bisektionsverfahrens ein q ∈ Q mit |q − x0| < 0,1.
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