Rationale Lösung Ja oder Nein?

Aufrufe: 115     Aktiv: 13.07.2021 um 22:26

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Ich habe eine Aufgabe, in der ich widerlegen/beweisen muss, dass die Gleichung 
2x^3+3x^2+7x+4=0 auch eine rationale Lödung besitzt. Kann mir da einer bitte erklären, wie ich vorgehen muss?
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Indem du es ausrechnest. 
Es gibt dabei einen schönen Trick: Du kannst die rationalen Nullstellen erraten indem du alle Teiler des Absolutgliedes (hier die 4) durch die Teiler des Leitkoeffizenten (hier die 2) rechnest. 
4 hat als Teiler: ±1, ±2 und ±4. 
2 hat als Teiler: ±1 und ±2. 
Du probierst also: ± \(\frac{1}{1}\), ± \(\frac{1}{2}\), ±\(\frac{2}{1}\), ±\(\frac{2}{2}\), ±\(\frac{4}{1}\), ±\(\frac{4}{2}\). (natürlich sind viele davon gleich, ich hab's trotzdem hingeschrieben damit man das Prinzip sieht). 
Wenn du das so machst erwischt du alle rationalen Nullstellen. Die reellen oder komplexen Nullstellen natürlich nicht. Aber du musst ja nur beweisen/widerlegen das es rationale Nullstellen gibt.
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Bleibt die Frage, warum der Trick eigentlich funktioniert - wenn das ein Teil der Aufgabe ist, hilft die Antwort nicht weiter.

Denn nur als Gegenbeispiel:
$$
(2x^2+\frac{28}{3}) \cdot (x+\frac{3}{7}) =2x^3+ \ldots + 4
$$
Hier gibt es die rationale Lösung $-\frac{3}{7}$ und keine andere, und diese Lösung kommt bei dem Trick leider gar nicht vor...

Ich weiß, dass die durch $\ldots$ angedeuteten Summanden jetzt ebenfalls Koeffizienten mit Brüchen haben - aber genau das macht den Unterschied.

Also: Warum funktioniert der Trick?
  ─   joergwausw 13.07.2021 um 18:51

Ist das jetzt eine Frage, die du dir stellst, oder eine an den Fragesteller gerichtete ;)?   ─   derpi-te 13.07.2021 um 18:57

Ich nehme mal an, dass ich gemeint bin :-)
Meine Frage geht an den Antwortenden - deshalb habe ich den Kommentar an die Antwort und nicht an die Frage geheftet.
Einen geforderten Beweis mit einem unbegründeten Trick zu erledigen, halte ich nämlich als Antwort für zu wenig...
Habe aber gerade keine Zeit, mir eine bessere Antwort zu überlegen.
  ─   joergwausw 13.07.2021 um 19:01

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Also interessiert dich, warum das so funktioniert?
Dann beantworte ich das dir gerne :)
Also eigentlich funktioniert es nicht, sondern "funktioniert" es nur... die Idee ist folgende:
Wenn alle Nullstellen ganzzahlig sind (wofür ganzzahlige Koeffizienten \(a_i\) eine notwendige aber wie in deinem Gegenbeispiel gezeigt keine hinreichende Bedingung sind), so kann man das Polynom mit n Nullstellen so faktorisieren (für den "Glücksfall", dass es sich komplett in Linearfaktoren zerlegen lässt):
\(x-x_1)(x-x_2)*...*(x-x_n)\) mit ganzen Zahlen \(x_i\).Wenn man das jetzt ausmultipliziert, erhält man im Polynom am Ende für den Summanden ohne x \(a_n=x_1*x_2*...*x:n\), weswegen da das -1-fache jeder Nullstelle, sofern alle Nullstellen ganzzahlig sind, drin steckt... aber wie gesagt: Das ist keine vollständige Methode zur Lösung, sondern eher eine Hilfe beim "erraten" von Nullstellen.
Ich hoffe, ich konnte dir helfen?
  ─   derpi-te 13.07.2021 um 19:13

Der in der Antwort angegebene Trick basiert auf dem Lemma von Gauß.
Wenn ein ganzzahliges Polynom \( f=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots a_1x+a_0 \in \mathbb{Z}[x] \) eine rationale Nullstelle \( \frac{p}{q} \neq 0 \) besitzt (wir können \( p \) und \( q \) als teilerfremd annehmen), dann gilt ja \( a_n(\frac{p}{q})^n + a_{n-1}(\frac{p}{q})^{n-1} + \cdots a_1 \frac{p}{q}+a_0 =0 \). Multipliziert man beide Seiten mit \( q^n \), so ergibt sich \( a_np^n + a_{n-1}qp^{n-1} + \dots + a_1q^{n-1}p + a_0 q^n = 0 \). Und mit einfachen Teilbarkeitsbeziehungen folgt damit, dass \( p \) das Absolutglied \( a_0 \) und \( q \) den Leitkoeffizienten \( a_n \) teilen muss.
Ich hoffe, damit ist jetzt klar, warum der Trick immer funktioniert :)
  ─   anonym83bed 13.07.2021 um 20:53

@anonym: Danke, ergibt Sinn. Jetzt kannst Du die Antwort auf Deine eigene Frage upvoten :-)
Achnein - es gibt mehr als einen User mit dem angezeigten Namen "anonym".... Die Abbildung User -> Username scheint nicht ganz injektiv zu sein... oder ich sehe den Unterschied nicht...
  ─   joergwausw 13.07.2021 um 21:14

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@derpi-te - ich glaube, mein Problem ist noch nicht ganz klar geworden.

Das Problem ist doch, dass es in der Frage nicht um ganzzahlige Nullstellen geht (für solche war mir Deine Argumentation klar), sondern um rationale Nullstellen.
Daher war meine Frage, warum es auf der "Suche nach Brüchen" ausreicht, nur die in der Antwort genannten Brüche auszuprobieren. Denn da habe ich theoretisch unendlich viele Möglichkeiten, das konstante $a_n$ (das ich übrigens immer $a_0$ nenne, weil dahinter ein unsichtbares $x^0$ steht) in Faktoren zu zerlegen...

Wenn ich nur eine Teilmenge der möglichen Brüche erfolglos durchprobiere, habe ich ja nicht bewiesen, dass es nicht doch einen Bruch gibt, den ich nur nicht getestet habe...
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orthando hat 13.07.2021 um 20:40 bearbeitet

 

Wie kann man eigentlich eine Antwort löschen? Ich wollte die Antwort auf einen Kommentar schreiben.... :-( Dann würde ich das entsprechend ändern und den Text an die richtige Stelle kopieren... jetzt sieht das so aus als hätte ich geholfen. Habe ich aber gar nicht.   ─   joergwausw 13.07.2021 um 19:29

Müsste unter bearbeiten funktionieren. Die haben aber Bedingungen eingearbeitet und ich hoffe, dieser Kommi widerspricht Ihnen nicht.^^
  ─   monimust 13.07.2021 um 20:04

@joergwausw Das mit der Betrachtung der Teiler ist, wie ich vermute, auch nur als möglicher Weg vorgeschlagen worden, welcher aber nicht immer funktionieren muss, wie in diesem Fall eben... nur wenn jetzt bspw. 2 eine Nullstelle wäre, wäre sie halt sehr leicht zu finden.
Aber ja, in dem Fall muss der Nachweis anders erbracht werden ;)
  ─   derpi-te 13.07.2021 um 20:33

@joergwausw: Sry, wollte einen Hinweis an die Admins hinterlassen und hab deine Antwort ausgeblendet :(. Sollte zumindest sichtbar sein. Die Umwandlung wird später vorgenommen ;).
  ─   orthando 13.07.2021 um 20:42

@monimust: Danke, ich habe den Button gefunden. Das Layout hier macht mich noch wahnsinnig. Bei den Kommentaren ist der Löschen-Link sofort neben dem Bearbeiten-Link immer sichtbar, bei der Antwort nicht, da muss man erst auf bearbeiten klicken. Wenn eine Antwort Kommentare bekommen hat, dann kann man seine eigene Antwort bearbeiten, aber der bearbeiten-Link ist unter den Kommentaren, direkt unter dem bearbeiten-Link vom letzten Kommentar. Wenn man gerade beides hat (Antwort und letzter Kommentar), dann muss man schon höllisch aufpassen, was man da anklickt.... da ist beim Layout noch viel Luft nach oben...

Und was jetzt bei einer Umwandlung passiert? Wird meine Antwort ein Kommentar? Und was ist mit den Kommentaren zu dieser Antwort... ? Bin gespannt.
  ─   joergwausw 13.07.2021 um 21:15

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@orthando: Habe gerade eine Email gefunden - leider ohne Anrede und mit einer noreply-Absender-Adresse (siehe unten), also automatisch generiert. Insofern ist nach wie vor völlig unklar, was jetzt eigentlich passieren soll - ich soll sie ja offenbar bearbeiten (löschen erscheint in Bezug auf die vorhandenen Kommentare nicht mehr sinnvoll).

Bin gerade etwas genervt, deshalb
< rant>
Antworten und nachfragen geht ja nicht (noreply). Die Feedback&Support-Funktion habe ich auch schon zweimal genutzt, aber nie eine Antwort bekommen. "wir lesen jedes Feedback" - und dann? Und wann? Wer ist "wir"? Support stimmt defintiv nicht, diese Funktion ist unter dem Link nicht vorhanden. Und die Fußleiste sehe ich nicht, weil da der "Cookies zulassen"-Link drübergelegt ist. Ich möchte das nicht anklicken (ich supporte mit Antworten, aber nicht mit Akzeptieren von Cookies), aber da fehlt schlicht der vorgeschriebene "Ablehnen"-Button. Dann halt keine Fußleiste, also auch kein Impressum (Frage: muss man nicht eigentlich an das Impressum kommen können ohne gezwungen zu sein, Cookies zu akzeptieren?)

Zum Inhalt der Email:
Die Antwort enthält keine "Unstimmigkeiten" - sie ist inhaltlich völlig ok, sollte aber ein Kommentar sein, d.h. die Sachlage wurde falsch eingeschätzt, weil niemand vom Portal die fragliche Antwort gelesen hat.
Was "ausgegraut bleiben" bedeuten soll? Keine Ahnung - wenn ich unangemeldet auf diese Frage gehe, sehe ich alles - inklusive der Links zum Voten (die klicke ich aber nicht) - grau ist da nichts.... und wenn man diesen Kommentar lesen kann, stimmt es auch nicht, dass sie nicht kommentiert werden kann.
Was "bearbeiten" bedeutet? Soll ich ein Leerzeichen löschen? Was macht der Automat dann? Wer entscheidet, ob die Änderung den Wünschen der automatischen Email entspricht? Transparenz fehlt hier völlig.

Dass man technische Fragen nicht einer dafür vorgesehen Forums-Kategorie diskutieren kann, sondern letztlich dafür die Fragen unschuldiger Fragender missbrauchen muss, ist auch nicht wirklich geschickt...

Um das nicht falsch verstanden zu werden: ich halte dieses Portal für eine sinnvolle Sache, sonst hätte ich ja auch nicht schon ein paar Fragen beantwortet - oder es zumindest versucht. Aber dass die User sich selbst überlassen bleiben, ist auch nicht der richtige Weg. Daher bin ich gerade ein wenig genervt. Mit automatisch generierten, unpersönlichen Aufforderungen konfrontiert zu werden macht keinen Spaß.
< /rant>
Tschuldigung, ich musste das mal loswerden.

Ich warte jetzt einfach mal ab.

Hier noch der Email-Text:
***
Leider scheint deine Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und wurde deshalb gemeldet: "@derpi-te - ich glaube, mein Problem ist noch nich"

Wir bitten dich daher deine Antwort zu korrigieren. Solange dies nicht passiert ist, wird deine Antwort ausgegraut bleiben und kann weder positive Votes erhalten, noch kommentiert, oder akzeptiert werden.

www.mathefragen.de Team
by Daniel Jung
***
  ─   joergwausw 13.07.2021 um 21:44

Warum kopierst du deine Andwort nicht in die Kommentare und derpi-te's Kommentar darauf, der als einziger sachbezogen ist, als Zitat in einen weiteren und löscht das Ganze hier?   ─   monimust 13.07.2021 um 22:19

Ich sag mal "Danke" für den Input. Als stetiger Helfer wird man iwann betriebsblind bzw. in seinen Klicks eingefahren. Da können wir einiges rausziehen. Hab es nochmals weitergeleitet an die Administration :).


  ─   orthando 13.07.2021 um 22:26

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