Streng monoton fallend heißt: Für alle n gilt \(a_n > a_{n-1}. Streng monoton steigend mit dem < Zeichen! Deine Folge ist streng monoton steigend. Zum Beweis mußt Du zeigen, dass nach Einsetzen von n und n-1 Deine Folge die Bedingung erfüllt.

Wir rechnen einfach mal die Differenz zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder aus:

Dazu wähle \(n\in \mathbb{N}_{\geq1} \) beliebig aber fest und berechne

\(a_n-a_{n+1}=4n - \frac{7}{3n} +5 - (4\cdot(n+1)-\frac{7}{3\cdot(n+1)} + 5) =  -4-\frac{7}{3n}+\frac{7}{3\cdot(n+1)} = -4+\frac{-7\cdot(n+1)+7n}{3n(n+1)}= -4 -\frac{7}{3n(n+1)}<0\)

Die letzte Ungleichung gilt, weil n eine natürliche Zahl ist, und damit -4 und der Bruch negativ sind.

Da n beliebig gewählt ist, gilt, dass \(a_n\) immer echt kleiner ist als \(a_{n+1}\) und damit ist die Folge streng monoton wachsend.