Basiswechsel

Aufrufe: 37     Aktiv: 08.03.2021 um 16:15

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Kann mir jemand erklären, wie man eine Matrix hinsichtlich einer anderen Basis darstellt mit ähnlichen Matrizen, also mit C^-1*A*C=B und C*B*C^-1=A
Ich schaffe es leider einfach nicht das zu verstehen
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Hallo,

eine Basiswechselmatrix ist eine spezielle Abbildungsmatrix. Und zwar ist es die Abbildungsmatrix der Identitätsabbildung von einem Vektorraum in sich selbst nur mit unterschiedlichen Basen. 

Also wir bilden jeden Vektor der einen Basis, auf einen Vektor der anderen Basis ab und erhalten so die Darstellung in der neuen Basis. 

Wie bei einer Abbildungsmatrix, nehmen wir uns nun die Bilder der alten Basisvektoren und stellen sie als Linearkombination der Basis des Zielraums dar (also der neuen Basis). Da wir die Identitätsabbildung betrachten, ist das Bild jedes Basisvektors aber der Basisvektor selbst.
Zusammengefasst, stellen wir also jeden Basisvektor der alten Basis als Linearkombination bzgl. der neuen Basis dar. Mit \( \mathcal{A} = \{ a_1 , a_2 , \ldots , a_n \} \) der alten Basis und \( \mathcal{B} = \{ b_1 , b_2 , \ldots , b_n \} \) der neuen in die wir wechseln wollen, bestimmen wir also

$$ a_j = \lambda_{1j} b_1 + \lambda_{2j} b_2 + \ldots + \lambda_{nj} b_n $$

Die Koeffizienten dieser Linearkombination, bilden dann die Koeffizienten, des j-ten Spaltenvektors der Transformationsmatrix. Also ist

$$ T_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \begin{pmatrix} \lambda_{11} & \ldots & \lambda_{1j} &\ldots& \lambda_{1n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \lambda_{n1} & \ldots & \lambda_{nj} & \ldots & \lambda_{nn} \end{pmatrix} $$

Betrachten wir nun eine Abbildung, die im Definitionsbereich die Basis \( \mathcal{A} \) hat und im Zielraum die Basis \( \mathcal{A}' \) ( nennen wir diese mal \( A \)). Diese soll im Definitionsraum in die Basis \( \mathcal{B} \) und im Zielraum die Basis \( \mathcal{B}'\) wechseln. Die neue Abbildungsmatrix, nennen wir dann \( B \). Dann gilt

$$ B = T_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{A}'} \cdot A \cdot T_{\mathcal{A}}^{\mathcal{B}} $$

Wenn wir nun im Definitonsraum und im Zielraum die selbe Basis haben und auch in beiden Räumen in die selbe Basis wechseln, dann haben wir eine Ähnlichkeitsabbildung. 

$$ B = T_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} \cdot A \cdot T_{\mathcal{A}}^{\mathcal{B}} $$

denn es gilt \( (T_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}})^{-1} = T_{\mathcal{A}}^{\mathcal{B}} \)

Wenn du magst, kannst du gerne mal ein Beispiel rechnen und hier hochladen. Dann gucke ich mal drüber ob alles klar geworden ist.

Grüße Christian
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