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Kann mir jemand den folgenden Satz beweisen oder widerlegen?

Sei V ein Vektorraum mit einer "starken" Norm \(\|\!\cdot\!\|\) und einer "schwachen" Norm \(|\!\cdot\!|\), d.h. \(\displaystyle \sup_{|v|=1} \|v\|=\infty, \; \sup_{\|v\|=1} |v|<\infty\).
Sei \((v_n)_{n\in\mathbb{N}}\) eine Cauchyfolge bezüglich \(\|\!\cdot\!\|\) und eine Nullfolge bezüglich \(|\!\cdot\!|\).
Dann ist \((v_n)_{n\in\mathbb{N}}\) eine Nullfolge bezüglich \(\|\!\cdot\!\|\).

Ich bin vor >30 Jahren auf diese Frage gestoßen - die Beantwortung dieser Frage hat's also nicht eilig.

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Hast du schonmal ein paar einfachere Fälle ausprobiert? Also wenn $(X, || \cdot ||)$ ein (reflexiver) Banachraum oder evtl sogar Hilbertraum ist? Also kann man bereits Einschränkungen vornehmen?

Ich mag diese Frage sehr, da sie zum tüfteln einlädt (ich glaube, dass die Aussage ein super seltsames Gegenbeispiel hat). Aber komplett von 0 starten ist hier super aufwändig.
  ─   crystalmath 19.05.2024 um 16:55

Habe mir zunächst den Fall \(V=l^{\infty}\) vorgenommen, mit Normen
\(\displaystyle \|(x_n)_{n\in\mathbb{N}}\| = \sup_{n\in\mathbb{N}} |x_n| \)
und
\(\displaystyle |(x_n)_{n\in\mathbb{N}}| = \sup_{n\in\mathbb{N}} \frac{\|x_n\|}n\)
Hier gilt der Satz.

Wie ich mir später überlegt habe, ist das auch kein Wunder, denn \(l^{\infty}\) ist vollständig bez. der starken Norm. Dann konvergiert die Cauchyfolge gegen ein \(\overline x\) bez. der starken Norm. Also auch bez. der schwachen Norm. Also ist \(\overline x=0\).

Man kann nun jeden Vektoraum vervollständigen. Wenn man das V aus dem Satz bez. der starken Norm vervollständigt,
und die schwache Norm auf diesen vervollständigten Raum fortsetzt,
dann kommt aber möglicherweise eine Halbnorm heraus.

Man muss also in unvollständigen Räumen suchen.
  ─   m.simon.539 20.05.2024 um 00:28

Ich denke, wenn man annimmt, dass $V$ bezüglich $|| \cdot ||$ vollständig wird, wird es enorm schwierig. Ich habe nach reflexiv gefragt, da man für die starke bzw. schwache Norm Inklusionrelationen für die Räume bzw. die Dualräume hat. Also jedes stetige Funktional bezüglich der schwachen Norm ist auch eines bzgl. der starken Norm.
Mein Startpunkt war $V=L^1_{loc}(\mathbb{R})$ und ich habe versucht, durch geeignete, gewichtete Sobolevräume irgendentwas zu konstruieren, aber ich bin nicht weitergekommen. Letztendlich halte ich Funktionenräume für geeignet für ein Gegenbeispiel, da hier die "$0$-Funktion" Spielraum offen lässt. Also e.g. die Funktion $f=0$ und $f=0+ \mathbb{1}_{\mathbb{Q}}$ sind beides (ein Vertreter) der Nullfuntion in $L^p$, aber bezüglich der $\sup$ norm gilt nur $f=0$ gleich $|f|=0$.
  ─   crystalmath 20.05.2024 um 11:13

Ich würde dein Problem erstmal so neu formulieren: Sei $(V, ||\cdot ||)$ ein Banachraum. Sei $| \cdot | $ eine weitere Norm, so dass $\sup_{||v||=1} |v|=C$ und $\sup_{|v|=1}||v||=\infty$. Sei $v_n$ eine konvergente Folge bezüglich $|| \cdot ||$ und eine Nullfolge bezüglich $| \cdot |$. Dann gilt bereits $v_n \to 0$ bezüglich $|| \cdot ||$.

Du siehst, ich habe hier einiges vereinfach. Aber dieses Problem wirkt zumindest erstmal einen Tacken einfacher und wenn man das Lösen kann, kann man vielleicht auch dein originales Problem nochmal angehen.
  ─   crystalmath 22.05.2024 um 10:46
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