Lösungsmenge eines LGS

Aufrufe: 212     Aktiv: 18.03.2022 um 09:28

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Für welche c eR ist das folgende LGS über R lösbar?

             cx +  y +  z   = 1
             x   + cy + z  = 1
             x   +  y  + cz = 1

          Ich habe hier an die Treppennormalform gedacht. Falls dieser Ansatz richtig ist,  weiß hier nicht wie ich die
          hier umsetzen sollte.
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1 Antwort
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Ja mit der Treppennormalform kann man das lösen, fange also an unter dem \(cx\) Nullen zu erzeugen. Vorsicht: Wenn du mit \(c\) multiplizierst muss \(c \not =0\) gelten,  dass musst du dann nachher nochmal überlegen
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Student, Punkte: 8.17K

 

Mein Versuch:

c x + y + z 1

x-x +c(y-x) +(z-x) 1-x 3. Zeile x von Zeile 2 abgezogen ?

x -x + (y-X) + c(z-x) 1 -x 1. Zeile x von Zeile 3 abgezogen ?

ich bin mir nicht sicher ob das jetzt überhaupt richtig ist. Und dann wüsste ich jetzt nicht weiter.
  ─   atideva 17.03.2022 um 09:38

Das ist jetzt etwas ungünstig geschrieben. Die 1 sowie 1 -x und 1-x sollten rechts die erweiterte Koeffizientenmatrix darstellen.   ─   atideva 17.03.2022 um 09:41

Du willst doch das die x aus den unteren Gleichungen verschwinden... Kennst du den Gaußalgorithmus? Man arbeitet immer mit der Pivotzeile und erzeugt so Nullen in den unteren. Rechne \(Z_i=c\cdot Z_i-Z_1\) für \(i \in \{2,3\}\), beachte aber, dass man hierbei \(c \not =0\) annimmt. Über \(c=0\) kümmern wir uns dann später   ─   mathejean 17.03.2022 um 09:45

Den Gaußalgoritmus kenne ich schon, aber ich komme jetzt immer noch nicht hier zurecht. Ich weiss, dass in diesem Fall Zeile 1,2 und 1,3 Null sein müssen und Zeile 2,1 und 2,3 sowie Zeile 3,1 und 3,2 und in der erweiterten Koeffizientenmatrix muss ich dieselben operationen durch führen. Und man startet von in der 1. Spalte. Den Hinweis von dir verstehe ich so, dass ich für die Variable neben C entweder 1 oder 2 einsetzten muss?   ─   atideva 17.03.2022 um 10:06

Ich meine mit \(Z_i\) die \(i\)-te Zeile des LGS. Ich habe dir zwei Zeilenoperationen für die Zeile \(Z_2\) und \(Z_3\) gegeben, ist das nachvollziehbar? Viele schreiben auch \(R_i\) statt \(Z_i\), vielleicht hast du das schonmal gesehen.   ─   mathejean 17.03.2022 um 10:53

Es ist mir leider immer noch nicht ganz klar.Das habe ich ja schon versucht, aber offenbar falsch.   ─   atideva 17.03.2022 um 11:31

Multipliziere die zweite Zeile mit c und ziehe die erste ab, dasselbe dann noch mit der dritten   ─   mathejean 17.03.2022 um 11:59

wenn ich dich richtig verstanden habe, dann multipliziere ich die

2. Zeile mit c = cx + c^2y + cz = c

3. Zeile mit c = cx + cy + c^2z = c Und jetzt die 1. Zeile von der 2. und von der 3. abziehen, dann habe ich

1. Zeile cx + y + z = 1
2. Zeile 0 + c^2 + c = c-1
3. Zeile 0 + c + c^2 = c -1. Das ist jetzt, sofern ich das überhaupt richtig nachvollzogen habe, noch keine TNF.. Ich müsste jetzt nach in der 1. Zeile y und z zu 0 machen. In der 2. Zeile muss vermutlich das c ohne ^2 da stehen, evetuell zusammen mit y? und das andere c muss 0 sein, wie in der 3. Zeile, nur umgekehrt. Aber wie, falls das so richtig ist.
  ─   atideva 17.03.2022 um 18:42

Der Ansatz ist jetzt richtig, es ist aber z.B. \(c^2y-y \not = c^2\) , dass musst du erstmal so stehen lassen. Für die zweite Zeile erhälst du \(0\cdot x+(c^2-1)y+(c-1)z=c-1\), schaffst du die dritte Zeile? Danach musst du im nächsten Schritt in der dritten Zeile in der y-Spalte eine Null erzeugen, als Tipp: \(c-1\) ist ein Teiler von \(c^2-1\)   ─   mathejean 17.03.2022 um 20:01

Deine Antwort hat mir jetzt schon Mut gemacht, aber ich merke trotzdem, dass es mir schwer fällt, zunächst weiter zurechnen. In der Uni würde ich jetzt einen Übungsleiter fragen, ob er mir die Lösung mal vorrechnet um sie dann versuchsweise zu verstehen. Ich habe die Frage auch einem Betreuer an der Fernuni gestellt, und der sagte mir, das ich anhand der Gleichung ein LGS mit den Koeffizienten
( c 1 1, 1 c 1, 1 1 c)(natürlich untereinander) aufstellen soll, um darauf die Zeilenumformungen anzuwenden. Ich habe zurückgeschrieben, dass ich es leider nicht schaffe.



  ─   atideva 18.03.2022 um 08:52

Versuch die Sache jetzt bitte nicht zu kompliziert zu machen, du hast es doch schon fast. Lass uns jetzt nur auf Zeile 3 konzentrieren, diese hast du jetzt mit c multipliziert und kamst (richtig) auf \(cx+cy+c^2z=c\), jetzt können wir die erste Zeile von dieser Zeile abziehen, versuche das ganz langsam zu machen und fokussieren dich nur hierdrauf. Das was dein Betreuer dir geschrieben hat ist genau, das was wir hier auch machen, nur wir arbeiten hier gerade nicht mit der Koeffizientenmatrix, weil ich dich nicht noch damit überfordern wollte   ─   mathejean 18.03.2022 um 09:24

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