Ich gehe mal aufgrund des abgebildeten Lösungswegs davon aus, dass für diesen Beweis gar nicht bekannt ist, dass eine Parabelhälfte injektiv ist - ansonsten würde das so gehen wie in der anderen Antwort geschildert.

Die Frage war ja erstmal, warum es überhaupt diese Schritte gibt.
Für die Injektivität ist ja zu zeigen, dass zwei Funktionswerte $f(x_1)$ und $f(x_2)$ nur dann gleich sind, wenn $x_1=x_2$ gilt.

Die Funktion ist nun in zwei Stücken definiert. Um also die genannte Bedinung zu prüfen muss man verschiedene Fälle unterscheiden:
1) Beide $x$-Werte liegen im ersten Abschnitt der Funktion (Beide $x$-Werte kleiner als $2$)
2) Die beiden $x$-Werte liegen in verschiedenen Abschnitten (ein $x$ kleiner als $2$, das andere mindestens $2$)
3) Beide $x$-Werte liegen im zweiten Abschnitt (Beide $x$-Werte mindestens $2$).

Das ist erstmal der Grund, warum es drei Abschnitte gibt.
Der zweite Fall bedeutet: Man muss ja ausschließen, dass ein Funktionswert nicht zufällig von $x$-Werten aus zwei Abschnitten getroffen wird. Also wird festgelegt, dass $x_1$ im ersten und $x_2$ im zweiten Abschnitt liegen soll. Kann man auch umgekehrt wählen, dann ist der Rechenweg aber der gleiche.

Zum 3.Schritt:
Da wird bei  $-(x_1^2-x_2^2)$ erst die dritte binomische Formel in der Klammer angewendet, dann $(x_1-x_2)$ ausgeklammert und das Minus vor der Klammer noch richtig beachtet. Hier empfiehlt es sich, diese drei Schritte nicht auf einmal, sondern nacheinander aufzuschreiben.
Deshalb kommt man dann auf ein Produkt, das $0$ ergeben soll. Ein Produkt ist aber nur dann $0$, wenn mindestens ein Faktor $0$ ist. Im Anschluss wird begründet, warum die rechte Klammer nicht $0$ sein kann. Also muss die erste Klammer $0$ sein. Weil dann aber $x_1=x_2$ sein muss (dann ist die erste Klammer $0$), ist für diesen Fall die Injektivität bewiesen.

Zum 2.Schritt:
Auf die erste Zeile kommt man so: Es kann ja nur etwas für $x_1$ eingesetzt werden, das kleiner ist als $2$ (erster Abschnitt der Funktion). Deshalb wird diese $2$ als Grenze eingesetzt und kommt darauf, dass die Ergebnisse immer größer sind als $-1$ - auch hier könnte man das in mehreren Schritten übersichtlicher darstellen...
Wenn man jetzt beweist, dass für $x_2$, das in den zweiten Abschnitt der Funktion eingesetzt wird, die Werte höchstens $-1$ groß sind, dann ist die Injektivität klar, weil ja beides gleichzeitig nicht geht (größer und kleiner als $-1$).
Auch hier wird das ganze völlig unzureichend dargestellt und ausgeführt.
Es wird $x_2$ eingesetzt und das kleiner/gleich 1 gesetzt und geprüft, für welche Werte von $x_2$ das erfüllt ist. Sollte es eine Überschneidung geben, also wären Werte $x_2<2$ möglich, dann könnte es sein, dass das ganze nicht injektiv ist. Bei einer ordentlichen Umformung kommt aber heraus, dass $x_2\geq 2$ sein muss, also gibt es keine Überschneidung, also injektiv.

Fazit:
Wenn Ihr das grundsätzlich so machen sollt:
Versuch mal, das mit ordentlichen Rechenschritten aufzuschreiben - ich hoffe, die Erklärung hilft dabei, was hier eigentlich passiert...