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Also wie du sicher weißt, wird bei der partiellen Ableitung nach einer Variable abgeleitet und die anderen werden wie Konstanten, also Zahlen behandelt
1. Funktion:
Wenn du hier nach x partiell ableitest, fällt das \( -y^2 \) aufgrund der oben genannten Eigenschaft weg. Davor steht ein Produkt aus 2 Funktionen, die beide von x abhängen. Darauf musst du natürlich auch hier die Produktregel anwenden mit: \( u(x) = x ; u'(x) = 1; v(x) = e^{-x^2} ; v'(x) = -2x \cdot e^{-x^2} \). Achtung bei der Ableitung von v(x) musst du die Kettenregel anwenden, um die Exponentialfunktion abzuleiten. Eingesetzt bedeutet dies also: \( \frac{\partial f}{\partial x} (x,y) = 1 \cdot e^{-x^2} + x \cdot (-2x) \cdot e^{-x^2} = e^{-x^2}(1 - 2x^2) \). Für y ist das ganze demzufolge noch leichter. Hier fallen alle Terme mit x weg, da es sich dabei um Konstanten handelt: \( \frac{\partial f}{\partial y} (x,y) = -2y \).
2. Funktion:
Für die Ableitung nach x müssen wir beachten, dass in der Mitte ein Produkt von einer Funktion mit x und dem Logarithmus, der abhängig von y ist steht. Wenn wir nach x ableiten, ist aber der Ausdruck im Logarithmus als konstant anzusehen und demzufolge eine Zahl, die wir wie einen normalen skalaren Faktor betrachten können. Der Rest folgt wiederum aus den Ableitungsregeln im Eindimensionalen: \( \frac{\partial f}{\partial x} (x,y) = 3x^2 - 2x \cdot \log(y^2 + 1) -3\). Wie du siehst, habe ich die Polynome ganz normal abgeleitet, nach der bekannten Regel und auch den konstanten Faktor mit dem Logarithmus beibehalten. Für die partielle Ableitung nach y müssen wir nun nur das Produkt in der Mitte betrachten, da die anderen beide Terme aufgrund des x bei der partiellen Differentiation nach y wegfallen. Für die Ableitung des Logarithmus benötigen wir dann wiederum die Kettenregel. Das \( - x^2 \) behalten wir einfach als Faktor bei. Dann gilt: \( \frac{\partial f}{\partial y} (x,y) = -x^2 \cdot \frac{1}{y^2 + 1} \cdot 2y \). Bedenke bei der Kettenregel immer, dass die Ableitung der äußeren Funktion (hier der Logarithmus) gebildet wird. In diese äußere Ableitung setzt man dann wiederum die innere Funktion ab und multipliziert das mit der inneren Ableitung.
Ich hoffe das beantwortet deine Frage!
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Das ln() leitest du bei der Ableitung nach x deshalb nicht ab, weil der Ausdruck im Logarithmus nicht von x abhängt und deshalb als konstant angesehen wird beim partiellen Ableiten. ─ el_stefano 27.03.2020 um 09:33
Woher kommt diese 1 in der klammer ? ─ anonym4e376 27.03.2020 um 09:26