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Moin!
Habe in Mathe folgende Aufgabe bekommen:
Begründen Sie, dass die Funktion f mit f(x)=1/x eine Hyperbel ist und die so konstruierte Ellipse die klassischen Brennpunkteigenschaften besitzt.
Die Funktion 1/x war mir immer als DIE Standarthyperbel bekannt. Doch wie könnte man das möglichst mathematisch begründen? Ellipsen und Hyperbeln enthalten beide je 2 Brennpunkte. Mit diesen sind die beiden Figuren definiert. Doch wie kann ich das nachweisen/ begründen? Und wie bekomme ich aus der Hyperbel 1/x eine Ellipse? Im Internet habe ich folgendes dazu gefunden, was mir allerdings nicht sehr weitergeholfen hat:
"Die Gleichung x²/a²-y²/b²=1 ähnelt der Ellipsengleichung x²/a²+y²/b²=1.
Führt man die imaginäre Zahl i mit i²=-1 ein, stimmt sie mit der Ellipsengleichung überein: x²/a²+y²/(ib)²=1. So kommt es zu den Bezeichnungen reelle Halbachse für a und imaginäre Halbachse für b. (Berechnungen zur Ellipse könnten auch formal auf Hyperbeln übertragen werden. Diese Idee habe ich nicht weiter verfolgt.)" Von http://www.mathematische-basteleien.de/hyperbel.htm
Über Hilfe würde ich mich sehr freuen. Bei Rückfragen stehe ich selbstverständlich bereit.
MfG
Habe in Mathe folgende Aufgabe bekommen:
Begründen Sie, dass die Funktion f mit f(x)=1/x eine Hyperbel ist und die so konstruierte Ellipse die klassischen Brennpunkteigenschaften besitzt.
Die Funktion 1/x war mir immer als DIE Standarthyperbel bekannt. Doch wie könnte man das möglichst mathematisch begründen? Ellipsen und Hyperbeln enthalten beide je 2 Brennpunkte. Mit diesen sind die beiden Figuren definiert. Doch wie kann ich das nachweisen/ begründen? Und wie bekomme ich aus der Hyperbel 1/x eine Ellipse? Im Internet habe ich folgendes dazu gefunden, was mir allerdings nicht sehr weitergeholfen hat:
"Die Gleichung x²/a²-y²/b²=1 ähnelt der Ellipsengleichung x²/a²+y²/b²=1.
Führt man die imaginäre Zahl i mit i²=-1 ein, stimmt sie mit der Ellipsengleichung überein: x²/a²+y²/(ib)²=1. So kommt es zu den Bezeichnungen reelle Halbachse für a und imaginäre Halbachse für b. (Berechnungen zur Ellipse könnten auch formal auf Hyperbeln übertragen werden. Diese Idee habe ich nicht weiter verfolgt.)" Von http://www.mathematische-basteleien.de/hyperbel.htm
Über Hilfe würde ich mich sehr freuen. Bei Rückfragen stehe ich selbstverständlich bereit.
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