Bei b) müssen Sie beim charakteristischen Polynom besser aufpassen: Das Polynom $- \lambda^3 + 1 = 0$ hat über $\mathbb{R}$ die Nullstelle 1 mit algebraischer Vielfachheit 3. Um über die Diagonalisierbarkeit über $\mathbb{R}$ entscheiden zu können, müssen Sie nun die geometrischen Vielfachheiten bestimmen.

Wenn Sie das Polynom  $- \lambda^3 + 1 = 0$ aber über $\mathbb{C}$ betrachten, so haben Sie die drei komplexwertigen Lösungen $\lambda_1 = 1, \ \lambda_{2, 3} = -\frac{1}{2} \pm \mathrm{i} \frac{\sqrt{3}}{2}$. Da diese alle verschieden sind, ist die Matrix über $\mathbb{C}$ diagonalisierbar.

Hallo,

das stimmt so nicht. Es gilt 

$-\lambda ^3 +1 = -(\lambda -1)(\lambda ^2 + \lambda + 1 )$

Damit hat unser Eigenwert 1 egal über welchem Körper die algebraische Vielfachheit 1.

Wenn wir uns nun in den reellen Zahlen befinden, dann zerfällt unser charakteristisches Polynom nicht über unserem Körper in Linearfaktoren. Das tut unser Polynom nur über den komplexen Zahlen.

Damit ist unsere Matrix über den reellen Zahlen weder diagonalisierbar, noch trigonalisierbar. 

Über den komplexen Zahlen, ist sie sogar wie du schon sagst diagonalisierbar.

Zum Beweis, eine Matrix mit dem dreifachen Eigenwert $\lambda = 1$ hätte folgendes char. Polynom

$\chi ( \lambda) = (\lambda -1) ^3 =\lambda ^3 -3\lambda ^2 +3 \lambda -1$

Für die c) musst du einen Nullstellen Rechner zu Rate ziehen. Aber du wirst sehen, das alle Nullstellen im komplexen wieder paarweise verschieden sind und im reellen das Polynom nicht komplett zerfällt.

Grüße Christian