Lineare Algebra 1 (isomorphismus von Quotientenräumen)

Aufrufe: 902     Aktiv: 24.02.2021 um 20:52
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Gegeben sei ein nicht leeres Inervall I auf R , sowie der Vektorraum  V der reellen Funktionen V(f: I  --> R). Als auch zu festem x0 in I der Untervektorraum U :( f in V : f(x0) = 0 ). Nun soll man mithilfe einer lineare Abbildung, die man finden muss zeigen, dass der Quotientenraum V/U isomorph zu R ist. Meine Frage ist wie finde ich diese isomorphe abbildung und zeige dann auch dass sie bijektiv ist ? Bitte um schnelle und ausführliche erklärung zur Vorgehensweise und Lösung da klausurrelevant!
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Zunächst solltest du dir überlegen, was die Basen der jeweiligen Vektorräume sind. Anschließend musst du eine lineare Abbildung finden, die eine Basis des einen Vektorraums auf eine Basis des anderen abbildet. Nun musst du nur noch zeigen, dass diese bijektiv ist.
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Student, Punkte: 10.87K

 
Was ist aber die basis eines Quotientenraums?   ─   haski000 24.02.2021 um 10:11
Wie sieht denn ein Element bzw. eine Restklasse des Quotientenraums V/U aus?   ─   42 24.02.2021 um 10:19
Müsste doch v+U, also eine reellwertige Funktion f + f(x0) wobei f(x0)=0 ist und aus U ist oder ?   ─   haski000 24.02.2021 um 10:47
Nein, das stimmt so nicht. Ein Element aus \( V/U \) ist zunächst mal eine Menge. Für eine Funktion \( v \in V \) ist die jeweilige Restklasse \( [v] = v+U = \{ v+f \ \vert \ f \in U \} \).
Wie kann man sich diese Restklassen nun vorstellen?
Nehmen wir ein \( w \in [v] \). Dann gilt \( w=v+f \) für ein \( f \in U \) und somit \( w(x_0)=(v+f)(x_0)=v(x_0)+f(x_0)=v(x_0) \). Alle Elemente aus \( [v] \) haben also an der Stelle \( x_0 \) den gleichen Wert \( v(x_0) \).
Damit kannst du dir jetzt eine Abbildung von \( V/U \) nach \( \mathbb{R} \) konstruieren. Siehst du, welche?   ─   42 24.02.2021 um 15:22
die identitätsabildung?   ─   haski000 24.02.2021 um 19:01
ne müsste ja dann die konstante funktion sein oder ?   ─   haski000 24.02.2021 um 19:07
Du kannst eine Restklasse \( [v] \) auf die reelle Zahl \( v(x_0) \) schicken. Die Abbildung wäre also \( \varphi: V/U \to \mathbb{R}, [v] \mapsto v(x_0) \). Diese Abbildung ist wohldefiniert, da ja jedes Element aus \( [v] \) an der Stelle \( x_0 \) den gleichen Wert \( v(x_0) \) hat. Jetzt musst du dir nur noch überlegen, dass das auch ein Isomorphismus ist.   ─   42 24.02.2021 um 20:41
Ich glaube ich habe es mehr oder weniger verstanden. Vielen dank, warst mir eine große Hilfe   ─   haski000 24.02.2021 um 20:52

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