Zerlegung eines Polynoms in irreduzible Faktoren

Aufrufe: 580     Aktiv: 07.02.2022 um 07:44

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Wieviele Faktoren vom Grad 1, Grad 2, Grad 3 usw. kommen jeweils in der Zerlegung von X^24 - 1 im Ring F5[X] in irreduzibele Faktoren vor? (Zerlegung muss nicht explizit angegeben werden.)

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2 Antworten
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Was ist denn eine Nullstelle? Was passiert wenn du dann eine Polynomdivision machst?
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Student, Punkte: 10.87K

 

Eine Nullstelle ist x=1, wenn ich eine Polynomdivision mache (X^24-1)/(X-1) erhalte ich (X^23+....+X+1)
Was genau bringt mir das?
  ─   user7be8f1 06.02.2022 um 14:06

Es gibt jetzt nur noch zwei mögliche Nullstellen von \(X^{23}+\ldots +X+1\) (scvau auf das absolute Glied), eine davon kann man sofort ausschließen, teil nun durch die andere Nullstelle, was stellst du fest?   ─   mathejean 06.02.2022 um 16:15

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Ich würde mit dem 3. Binom anfangen, x^24-1= (x^12+1)(x^12-1)und dann so weiter
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selbstständig, Punkte: 11.89K

 

Ok ich führe weiter und erhalte:
X^24-1= (X^12+1) (X^12-1)
= (X+1) (X^11 -X^10 - ... -X +1) (X^6+1) (X^6-1)
=(X+1) (X^11 -X^10 - ... -X +1) (X+1) (X^5-...-X+1) (X^3+1) (X^3-1)
=(X+1)^2 (X^11 -X^10 - ... -X +1) (X^5-...-X+1) (X+1) (X^2-X+1) (X-1) (X^2+X+1)
= (X+1)^3 (X-1) (X^11 -X^10 - ... -X +1) (X^5-...-X+1) (X^2-X+1) (X^2+X+1)

Passt das so?
Also habe ich ein Faktor vom Grad 3, und 5 Faktoren vom Grad 1
  ─   user7be8f1 06.02.2022 um 14:14

Ich setze mal reelle Lösungen voraus,
Dann wäre die erste Zerlegung (x^12+1)(x^12-1)= (x^12 +1)(x^6+1)(x^6-1) = ... mit x^3
Bei x^3 kannst du in beiden Fällen mit Polynomdivision weiterkommen
Irgendwie verstehe ich die Klammern mit (x^11, x^10...) bzw. (X^5 ...) nicht.
  ─   monimust 06.02.2022 um 14:36

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