Normalteiler

Aufrufe: 73     Aktiv: 22.11.2021 um 13:55

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Hallo Zusammen, 
auf die obige Aufgabe bin ich gestoßen. Wir sollen hier bestimmen, ob es sich um Normalteiler handelt oder nicht. 
Meine Idee ist es über die Ordnung dran zu gehen, ich meine mich nämlich zu erinnern, dass des Index 2 sein muss, wenn es sich um einen Normalteiler handelt. Aber ich bin mir nicht sicher, ob die Aussage so stimmt.
Es wäre nett, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte, wie man solche Aufgaben allgemein lösen könnte. 
Liebe Grüe und danke schon mal!
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Die Aussage, dass Normalteiler den Index 2 haben, ist im Allgemeinen falsch. Es gilt aber andersherum: Wenn eine Untergruppe den Index 2 hat, dann ist sie ein Normalteiler.
Inwiefern dir das hier hilft, muss du durch Ausprobieren herausfinden.

Ansonsten überleg dir noch andere Dinge, die du über Normalteiler weißt. Zum Beispiel sind Normalteiler genau die Kerne von entsprechenden Gruppenhomomorphismen. Das hilft dir beispielsweise bei der (ii) sofort weiter.

Wenn du zeigen willst, dass \( H \) kein Normalteiler ist, dann kannst du auch ein \( g \in G \) und ein \( h \in H \) angeben, für die \( ghg^{-1} \notin H \) ist. Gerade bei kleinen Gruppen geht das oft recht einfach.

Tipps zu geben, wie man solche Aufgaben allgemein lösen kann, ist hier eigentlich nicht möglich. Es kommt immer auf den individuellen Fall an. Oft muss man einfach ein bisschen rumprobieren und kreativ werden.
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Student, Punkte: 6.72K

 

Okay vielen Danke, das hat mir sehr weitergeholfen. Ich habe jetzt folgendes raus:
(ii) Normalteiler
(iii) kein Normalteiler
(iv) Normalteiler
(v) Normalteiler
(vi) Normalteiler
(vii) kein Normalteiler

Bei (i) bin ich mir nicht sicher, da ich aber auch nicht so richtig weiß, aus welchen Elementen GL_2(R) besteht. Passt es denn bei den anderen Aufgabenteilen?

LG
  ─   user553b7a 21.11.2021 um 11:32

$\operatorname{GL}_2(\mathbb R)$ ist die general linear group of degree $2$, die Elemente sind $2\times 2$-Matrizen mit reellen Einträgen
$$\operatorname{GL}_2(\mathbb R) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b\\ c & d\end{pmatrix} \mid a,b,c,d\in \mathbb R\right\}.$$
  ─   zest 21.11.2021 um 11:43

@user553b7a Deine Ergebnisse sehen gut aus.

Zu dem Kommentar von zest würde ich noch hervorheben, dass die Matrizen invertierbar sein müssen. Das geht sonst etwas unter. Also: \( GL_2(\mathbb{R}) \) ist die multiplikative Gruppe der invertierbaren \( 2 \times 2 \)-Matrizen mit reellen Einträgen.
  ─   anonym83bed 21.11.2021 um 12:58

Okay, müsste es dann nicht auch ein Normalteiler sein? Mit dem gleichen Argument wie bei (ii)?   ─   user553b7a 21.11.2021 um 14:04

Bei der (ii) war ja H der Kern des Gruppenhomomorphismus \( sgn: S_4 \to \{ -1, 1\} \) und deshalb ein Normalteiler. Wenn du bei (i) das gleiche Argument benutzen willst, dann brauchst du einen Guppenhomomorphismus mit Kern \( O_2( \mathbb{R} ) \). Welcher Gruppenhomomorphismus soll das denn sein?   ─   anonym83bed 21.11.2021 um 20:31

Okay, habe gerade ein Gegenbeispiel gefunden. Vielen Dank euch!   ─   user553b7a 22.11.2021 um 13:55

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