Die Lagrange-Polynome

Aufrufe: 96     Aktiv: 08.01.2024 um 14:48

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Bestimmen Sie die Lagrange-Polynome zu den folgenden Daten:
(a) L0 durch (0, 1)
(b) L1 durch (0, 1) und (1, 0)
(c) L2 durch (0, 1), (1, 0) und (2, a), wobei a∈R

Schreiben Sie alle Li in Monomschreibweise, d.h. schreiben sie L2 z.B. als L2(x) = αx^2 +βx+γ mit entsprechenden α,β, γ ∈ R. Hinweis zu L0: Das leere Produkt ist per Definition 1.

(d) Wie muss a∈R bei L2 gewählt werden, damit möglichst viele Koeffizienten in der Monomschreibweise von L1 und L2 gleich sind? Welchen Grad hat L2 für dieses speziell gewählte a?

meine Lösung lautet/

(a)Für L0(x) mit Daten (0,1): L0(x)= x-1/0-1 =-(x-1)
(b)Für L1(x) mit Daten (0,1) und (1,0): L1(x)= x-0/0-1 = -x
(c)​Für L2(x) mit Daten (0,1) und (1,0)und (2,a): L2(x)= x-0/2-0.x-1/2-1 = 1/2 (x^2-x)
das bedeutet α= 1/2 ,β=-1/2 und γ= 0
(d)Um möglichst viele Koeffizienten in L1(x) und L2(x) gleich zu setzen, setzen wir die entsprechenden Koeffizienten der Monome gleich:
​Für L2(x) α = 1/2 ,β=-1/2 und γ= 0
Für L1(x) α´= 0 ,β´=-1 und γ´= 0
Die Koeffizienten β und β´ stimmen überein, daher können wir a so wählen, dass α und α´ gleich sind. In diesem Fall setzen wir α´= 1/2.
Für dieses spezielle a ist der Grad von L2 gleich 2, da der höchste Exponent von x in L2 x^2 ist.

kann jemand mir sagen ob alles in Ordnung oder es gab fehler in der Lösung

Danke
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Auch hier wieder: Foto posten oder LaTeX verwenden. Mind. Dein L0 ist falsch.   ─   mikn 07.01.2024 um 14:47

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\(L_1\) ist auch falsch, denn wäre \(L_1(x)=-x\), dann wäre \(L_1(1)=-1\), aber \(L_1(1)=0\).
\(L_2\) ist auch falsch, denn in den Koeffizienten muss ja \(a\) vorkommen.
  ─   m.simon.539 07.01.2024 um 17:41

als ich meine lösung wiederholt habe, kam ich auf :

(a)Für L0(x) mit Daten (0,1): L0(x)= x-0/0-0 =1
(b)Für L1(x) mit Daten (0,1) und (1,0): L1(x)= x-1/0-1 . x-0/1-0= x-1
(c)​Für L2(x) mit Daten (0,1) und (1,0)und (2,a): L2(x)= x-1/0-1 . x-2/1-2 . x-a/2-a = L2 (x)= 1/2(x^2−3x+2a−2)
das bedeutet α= 1/2 ,β=-3/2 und γ= a-1
(d)Um möglichst viele Koeffizienten in L1(x) und L2(x) gleich zu setzen, setzen wir a=2:
​Für L2(x) = x-1/0-1 . x-2/1-2 . x-2/2-2 = (x-1)(x-2)
für dieses spezielle a sind die Koeffizienten von L1 und L2 leich, da beide Polynome den gleichen Faktor (x-1) enthalten.
Für dieses spezielle a ist der Grad von L2 gleich 2, da das Produkt von drei Linearfaktoren vorliegt (x-1)(x-2)(x-2).
  ─   abdull 08.01.2024 um 11:07

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\(L_1\), \(L_2\), a und der Polynomgrad bei (d) sind immer noch falsch.

Leider steige ich durch Deine Formel nur teilweise durch.

Bei (b) ist der max. Polynomgrad n=1, man muss also folgende Formel verwenden:
\(\displaystyle L_1(x) = y_0 \frac{x-x_1}{x_0-x_1} + y_1 \frac{x-x_0}{x_1-x_0} \).
Wenn Du jetzt hier die Koordinaten \(x_0=0,\; x_1=1,\; y_0=1,\; y_1=0\) einsetzt, sollte ein bisschen was anderes rauskommen, asl das, was Du hast.

Bei (c) ist der max. Polynomgrad n=2, man muss also folgende Formel verwenden:
\(\displaystyle L_2(x) = y_0 \frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_1)}
+ y_1 \frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}
+ y_2 \frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}
\).
Wenn Du jetzt hier die Koordinaten \(x_0=0,\; x_1=1,\; x_2=2,\; y_0=1,\; y_1=0,\; x_2=a\) einsetzt, sollte
\(\displaystyle L_2(x) = \frac{a+1}{2} x^2 - \frac{a+3}{2} x + 1 \)
rauskommen.

Bei (d) kannst Du durch Koeffizientenvergleich in der Tat a so bestimmen, dass alle Koeffizienten gleich sind, dass also \(L_1=L_2\).
Dann ist natürlich der Grad von \(L_2\) gleich dem Grad von \(L_1\) , also 1!

  ─   m.simon.539 08.01.2024 um 14:48
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Nochmal: verzichte auf posting mit cut-and-paste oder wie auch immer die zustande kommen. LaTeX oder Foto.
Deine Zwischenergebnisse sind falsch bzw. falsch geschrieben bzw. nicht lesbar.
Das Endergebnis für $L_0$ stimmt jetzt (bei falschem Zwischenergebnis). Die anderen Polynome stimmen nicht, wie Du durch die Probe auch selbst feststellen kannst. Mach das bitte vor dem Posten selbst.
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