Wenn du nachrechnest, dass die Ungleichung für \(n=50\) gilt, ist das ein vollständiger und korrekter Beweis. Allerdings ist es recht mühsam, das ohne Hilfsmittel auszurechnen.

Der Hinweis zielt auf folgendes ab: Die Folge \((a_n)_n\) fällt linear, d.h. man braucht doppelt so viele Terme, um den Wert zu halbieren: \(\frac{a_n}2=a_{2n}\). Im Hinweis steht, dass \(\frac{b_n}{2}>b_{n+8}\), d.h. man braucht immer nur konstant viele Terme, um den Wert zu halbieren. Also fällt \((b_n)\) schneller. Konkret:

Es gilt \(b_8<\frac{b_0}{2}=\frac12=a_2\). Wir wenden wiederholt die obigen Überlegungen an und erhalten \begin{align*}b_{16}&<\frac14=a_4\\b_{24}&<\frac18=a_8\\b_{32}&<\frac1{16}=a_{16}\\b_{40}&<\frac1{32}=a_{32}\\b_{48}&<\frac1{64}=a_{64}<a_{48}\end{align*} Diese Methode kommt ohne Taschenrechner aus, was der Vorteil ist. Man kann allgemein zeigen, dass für \(0<q<1\) die Folge \((q^n)_{n\in\mathbb N}\) schneller fällt als \(\frac1n\):