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Hallo,
sieht für mich soweit alles richtig aus. Bedenke nur, dass wir eine quadratische Gleichung haben. Diese kann maximal 2 Lösungen haben und in den komplexen Zahlen hat sie genau 2 Lösungen.
Du hast aber keinen Fehler gemacht, aber jeweils 2 der Lösungen beschreiben die selbe Zahl. Das siehst du an folgendem:
$$ e^{i ( \varphi + \pi )} = e^{i \varphi} \cdot e^{i\pi} = e^{i\varphi} \cdot -1 = - e^{i \varphi} $$
Damit tauschen bei den Lösungen mit \( +180^\circ \) (\(+\pi\)) die Vorzeichen. Das kann man sich auch geometrisch vorstellen. Eine Drehung um \( 180^\circ \) zeigt genau in die umgekehrte Richtung.
Ich glaube ich würde aber als Lösung dort fast
$$ x_{1/2} = \frac {- 3i-1 \pm \sqrt{8+6i}} 2$$
stehen lassen. Finde ich sieht schöner aus als eine Mischung von Polar- und Kartesischer Form.
Grüße Christian
sieht für mich soweit alles richtig aus. Bedenke nur, dass wir eine quadratische Gleichung haben. Diese kann maximal 2 Lösungen haben und in den komplexen Zahlen hat sie genau 2 Lösungen.
Du hast aber keinen Fehler gemacht, aber jeweils 2 der Lösungen beschreiben die selbe Zahl. Das siehst du an folgendem:
$$ e^{i ( \varphi + \pi )} = e^{i \varphi} \cdot e^{i\pi} = e^{i\varphi} \cdot -1 = - e^{i \varphi} $$
Damit tauschen bei den Lösungen mit \( +180^\circ \) (\(+\pi\)) die Vorzeichen. Das kann man sich auch geometrisch vorstellen. Eine Drehung um \( 180^\circ \) zeigt genau in die umgekehrte Richtung.
Ich glaube ich würde aber als Lösung dort fast
$$ x_{1/2} = \frac {- 3i-1 \pm \sqrt{8+6i}} 2$$
stehen lassen. Finde ich sieht schöner aus als eine Mischung von Polar- und Kartesischer Form.
Grüße Christian
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christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.79K
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Herzlichen herzlichen Dank!!
─
hrainer
14.02.2021 um 23:55
Sehr gerne :)
─
christian_strack
15.02.2021 um 00:29