Ich würde hier folgendermaßen vorgehen:

Nehmen wir an, dass wir $(1+\frac{b}{a})^3 - 1 = y^3$ für eine ganze Zahl $y>1$ schreiben könnten.

Als erstes kann man sich überlegen, dass die dritte Wurzel einer ganzen Zahl entweder eine ganze Zahl oder schon irrational ist. Damit kann man dann folgern, dass $x:=1+\frac{b}{a}$ eine ganze Zahl sein muss.

Wir haben also $x^3 - 1 = y^3$ für eine ganze Zahl $x > 1$.

Durch umstellen und faktorisieren erhalten wir
$(x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3 - y^3 = 1$

Eine Abschätzung von $x^2 + xy + y^2$ nach unten liefert dann den Widerspruch, da es außer $-1$ und $1$ keine ganzzahligen Teiler der $1$ gibt.