Zahlentheorie-ganzzahlige Kubikzahl

Erste Frage Aufrufe: 106     Aktiv: 09.08.2022 um 21:30

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Kann man beweisen, dass der Ausdruck \( ((1+(\frac{b}{a}))^{3} -1) \) keine ganzzahlige Kubikzahl > 1 sein kann?
\( \phantom{10}a,b >0 \phantom{10}a,b \in \mathbb{N} \)
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Ich würde hier folgendermaßen vorgehen:

Nehmen wir an, dass wir \( (1+\frac{b}{a})^3 - 1 = y^3 \) für eine ganze Zahl \( y>1 \) schreiben könnten.

Als erstes kann man sich überlegen, dass die dritte Wurzel einer ganzen Zahl entweder eine ganze Zahl oder schon irrational ist. Damit kann man dann folgern, dass \( x:=1+\frac{b}{a} \) eine ganze Zahl sein muss.

Wir haben also \( x^3 - 1 = y^3 \) für eine ganze Zahl \( x > 1 \).

Durch umstellen und faktorisieren erhalten wir
\( (x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3 - y^3 = 1 \)

Eine Abschätzung von \( x^2 + xy + y^2 \) nach unten liefert dann den Widerspruch, da es außer \( -1 \) und \( 1 \) keine ganzzahligen Teiler der \( 1 \) gibt.
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