Also die ersten zwei Grenzen sind noch leicht zu bestimmen:

`x` von `0` bis `c`

`y(x)=a-a/c*x`

Bestimme nun eine Ebene, die die Oberfläche des Körpers beschreibt...

Ich entscheide mich für die Höhe des Körpers gegeben durch die z-Koordinate.

Ebene durch Punkt `P=((0),(0),(b))`

Richtungsvektoren:

`r_1=((0),(a),(-b))`

`r_2=((c),(0),(-b))`

Erzeuge Normalenvektor:

`((0),(a),(-b))xx((c),(0),(-b))=((-ab),(-bc),(-ac))`

Bilde Ebene:

`(vecn)*(vecx-vecP)=0`

`vecx*((-ab),(-bc),(-ac))-((-ab),(-bc),(-ac))*((0),(0),(b))=0`

`-(ab*x+bc*y+ac*z)+abc=0`

`ab*x+bc*y+ac*z=abc`

`z(x,y)=(abc-ab*x-bc*y)/(ac)`

Damit haben wir die Integralgrenzen bestimmt.

So und jetzt geht es an das Integral...

`int_0^cdxint_0^(a-a/c*x)dyint_0^((abc-ab*x-bc*y)/(ac))dz`

`=int_0^cdxint_0^(a-a/c*x)dy(abc-ab*x-bc*y)/(ac)`

`=int_0^cdx[(abc)/(ac)*y-(ab)/(ac)*x*y-(bc)/(ac)*y^2/2]_0^(a-a/c*x)`

`=int_0^cdx[b*(a-a/c*x)-(b/c)*x*(a-a/c*x)-b/a*(a-a/c*x)^2/2]`

Nebenrechnung: `(a-a/c*x)^2=a^2-2*a^2/c*x+a^2/c^2*x^2`

`=int_0^cdx[ab-(ab)/c*x-(ab)/c*x+(ab)/c^2*x^2+(-ab+2(ab)/c*x-(ab)/c^2*x^2)/2]`

`=int_0^cdx[(ab)/2-(ab)/c*x+(ab)/c^2*x^2/2]`

`=(abc)/2-(ab)/c*c^2/2+(ab)/c^2*c^3/6`

`=(abc)/6`

Dies hätten wir auch so erwartet.