Innerer Punkt auch Randpunkt?

Erste Frage Aufrufe: 465     Aktiv: 12.02.2021 um 15:42
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Wenn ich die Randpunkte und die inneren Punkte der Menge (a, b) bestimmen muss hätte ich gesagt das a und b die Randpunkte sind und somit eigentlich nicht mehr innere Punkte sein könne. Allerdings steht in der Lösung: 
Menge: (a, b)
Randpunkte: a und b
innere Punkte: (a, b)
Kann mir das jemand vlt ein bischen verständlich machen?
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1 Antwort
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Es geht ja um das Intervall \((a,b)\). Wie du richtig erkannt hast, sind \(a\) und \(b\) Randpunkte und damit nicht im Inneren enthalten. Weiter gilt für jedes \(x\in(a,b)\), dass \(\delta:=\min(x-a,b-x)>0\) und deshalb \((x-\delta/2,x+\delta/2)\in(a,b)\), sodass \(x\) ein innerer Punkt ist. Damit ergibt sich, dass das Innere genau \((a,b)\) ist.
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Als die Definition des inneren Punkts hab ich mir notiert das ein δ existieren muss bei dem das komplette Intervall A also (p+δ, p-δ) im gegebenen Intervall (a, b)liegen muss. Aber da ich p bereits als Randpunkt habe der Laut Definition immer ein δ
besitzt das außerhalb liegt verstehe ich nicht wo da mein denkfehler liegt.

   ─   barian 12.02.2021 um 15:30
Aber \(a\) und \(b\) sind ja gar nicht im Intervall \((a,b)\) enthalten. Für Randpunkte gilt, dass jede \(\delta\)-Umgebung sowohl mit der Menge als auch mit ihrem Komplement nichtleeren Schnitt haben muss.   ─   stal 12.02.2021 um 15:42

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