Basis im C^2

Aufrufe: 482     Aktiv: 03.06.2021 um 08:23
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Wenn ich von unitären 2x2 Matrizen jeweils die Eigenvektoren bestimme, sind dann die zugehörigen Eigenräume jeweils Basen von C^2 (komplexe Ebene)?
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Die Eigenräume sind keine Basen, das sind ja jeweils unendlich große Mengen. Aber wenn du aus jedem Eigenraum richtig viele (d.h. gleich der Vielfachheit des Eigenwerts) linear unabhängige Vektoren auswählst, dann bildet die Vereinigung all dieser Mengen eine Basis. Du kannst die Basis sogar so wählen, dass die Vektoren senkrecht aufeinander stehen.
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Klar, das ist ja die Definition von Dimension. Ich hab auch gerade erst gesehen, dass du nur von \(2×2\)-Matrizen redest, in dem Fall kann man noch ein bisschen mehr sagen, weil es nicht so viele möglichkeiten gibt.
Fall 1: Die Matrix ist ein Vielfaches der Einheitsmatrix. Dann ist dieses Vielfache der einzige Eigenwert mit Eigenraum ganz \(\mathbb C^2\), also ist jede Basis des \(\mathbb C^2\) auch eine Basis aus Eigenvektoren.
Fall 2: Die Matrix ist kein Vielfaches der Einheitsmatrix. Dann hat sie zwei verschiedene Eigenwerte, deren Eigenräume jeweils eindimensional sein müssen, also kannst du aus jedem Eigenraum einen Eigenvektor auswählen und erhälst eine orthogonale Basis.   ─   stal 03.06.2021 um 08:23

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