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Hallo,
na deine zugrundeliegende Menge sind die Zahlen.
Was ist denn die Definition einer Relation? Und was ist die Definition einer Äquivalenzrelation? Und was ist die Definition einer Äquivalenzklasse?
Das ist immer der erste Schritt. Sich klar machen, was das eigentlich ist, also schreib die Definitionen mal auf und überlege dir, was du davon nicht zeigen kannst! :)
Mit deinen Ansätzen dürfte das eigentlich gar nicht mehr so schwer sein. ;)
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endlich verständlich
Student, Punkte: 2.6K
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Okay.
a) Deine zugrunde liegende Menge ist also einfach \(\mathbb{N}\).
b) Die Relation soll jetzt auf dem kartesischen Produkt dieser Menge mit sich selbst, arbeiten. Wie sieht die Relation denn aus? Es muss sich ja um eine Menge handeln. Schreib doch mal ein paar Elemente dieser Menge auf, damit ich sehe ob du es verstanden hast! :)
c) Wenn du die b) verstanden hast, dann ist c) nur noch ordentlich aufschreiben und vielleicht noch ein ganz klein bisschen nachdenken :P
d) Die Äquivalenzklassen hattest du in deiner Frage quasi schon aufgeschrieben! :) ─ endlich verständlich 17.11.2019 um 12:23
a) Deine zugrunde liegende Menge ist also einfach \(\mathbb{N}\).
b) Die Relation soll jetzt auf dem kartesischen Produkt dieser Menge mit sich selbst, arbeiten. Wie sieht die Relation denn aus? Es muss sich ja um eine Menge handeln. Schreib doch mal ein paar Elemente dieser Menge auf, damit ich sehe ob du es verstanden hast! :)
c) Wenn du die b) verstanden hast, dann ist c) nur noch ordentlich aufschreiben und vielleicht noch ein ganz klein bisschen nachdenken :P
d) Die Äquivalenzklassen hattest du in deiner Frage quasi schon aufgeschrieben! :) ─ endlich verständlich 17.11.2019 um 12:23
b) ich denke vielleicht: (3,15), (4,16),(1, 13), (10, 22) ,... ? Ist sowas eine Relation?
c) mit dem bsp. (3,15)
1. Reflexivität, wenn 3 ∈ R ist, dann auch auch 3 ∈ R
2. Symmetrie, wenn 3 ∧ 15 ∈ R -> dann ist auch 15 ∧ 3 ∈ R
3. Transitivität: wenn 3 ∧ 15 ∈ R ∧ und 15 ∧10 ∈ R dann ist auch 3 ∧ 10 ∈ R (hier bin ich mir nicht ganz sicher...)
d) okay, aber wie notiert man es richtig? das haben wir nie wirklich besprochen...
meine Idee;
[16] = ❴( 3,15),(1,13) ❵. ??? ─ liliegretchen 17.11.2019 um 12:38
c) mit dem bsp. (3,15)
1. Reflexivität, wenn 3 ∈ R ist, dann auch auch 3 ∈ R
2. Symmetrie, wenn 3 ∧ 15 ∈ R -> dann ist auch 15 ∧ 3 ∈ R
3. Transitivität: wenn 3 ∧ 15 ∈ R ∧ und 15 ∧10 ∈ R dann ist auch 3 ∧ 10 ∈ R (hier bin ich mir nicht ganz sicher...)
d) okay, aber wie notiert man es richtig? das haben wir nie wirklich besprochen...
meine Idee;
[16] = ❴( 3,15),(1,13) ❵. ??? ─ liliegretchen 17.11.2019 um 12:38
Genau das sind Elemente in deiner Relation. Die Relation \(R\) ist also die Menge aller dieser Elemente:
\(R=\{(3,15),(4,16),(2,146),...\}\).
c) Das stimmt nicht so ganz. Wenn du Beispiele willst, dann geht \((3,15)\) nicht für Reflexivität, was du aber bei 1. geschrieben hat, meint das richtige. Du brauchst \((3,3)\in\text{R}\). Das musst du aber noch für alle Elemente aus \(\mathbb{N}\) zeigen und nicht nur für \(3\), was aber nicht so schwer sein dürfte.
Bei 2. und 3. hast du es wieder richtig gemeint, aber falsch aufgeschrieben. Du brauchst für \((3,15)\in\text{R}\) auch \((15,3)\in\text{R}\) und bei Transitivität auch Klammern schreiben, dann ist es richtig.
Kannst du es jetzt auch allgemein zeigen? :)
d) Interessante Idee, aber leider nicht richtig. Die Summe bilden hilft dir nicht. Du musst schauen, welche Elemente du zusammenfassen kannst und kannst dann einen sogenannten Repräsentanten angeben, der diese Menge repräsentiert. Diesmal nimmst du aber keine Paare \((x,y)\), sondern die Elemente aus \(\mathbb{N}\), Zum Beispiel kannst du ja \(2,14,26,...\) zusammenfassen, weil für je zwei dieser Elemente (wir nennen sie mal \(a\) und \(b\)) gilt, dass \((a,b)\in\text{R}\). Das heißt diese Elemente sind alle äquivalent und die Menge: \(\{2,14,26,..\}\) bildet eine Äquivalenzklasse. Ein Repräsentant könnte jetzt die \(2\) sein, weil sie die kleinste Zahl ist. Man schreibt oft \([2]=\{2,14,26,...\}\).
Unter diesem Aspekt gesehen, hast du alle Repräsentanten schon aufgeschrieben und sogar schon eine Formel angegeben, um die Menge kompakt zu schreiben. Für unser Beispiel wäre das: \([2]=\{12n+2:n\in\mathbb{N}_0\}\). ─ endlich verständlich 17.11.2019 um 14:32
\(R=\{(3,15),(4,16),(2,146),...\}\).
c) Das stimmt nicht so ganz. Wenn du Beispiele willst, dann geht \((3,15)\) nicht für Reflexivität, was du aber bei 1. geschrieben hat, meint das richtige. Du brauchst \((3,3)\in\text{R}\). Das musst du aber noch für alle Elemente aus \(\mathbb{N}\) zeigen und nicht nur für \(3\), was aber nicht so schwer sein dürfte.
Bei 2. und 3. hast du es wieder richtig gemeint, aber falsch aufgeschrieben. Du brauchst für \((3,15)\in\text{R}\) auch \((15,3)\in\text{R}\) und bei Transitivität auch Klammern schreiben, dann ist es richtig.
Kannst du es jetzt auch allgemein zeigen? :)
d) Interessante Idee, aber leider nicht richtig. Die Summe bilden hilft dir nicht. Du musst schauen, welche Elemente du zusammenfassen kannst und kannst dann einen sogenannten Repräsentanten angeben, der diese Menge repräsentiert. Diesmal nimmst du aber keine Paare \((x,y)\), sondern die Elemente aus \(\mathbb{N}\), Zum Beispiel kannst du ja \(2,14,26,...\) zusammenfassen, weil für je zwei dieser Elemente (wir nennen sie mal \(a\) und \(b\)) gilt, dass \((a,b)\in\text{R}\). Das heißt diese Elemente sind alle äquivalent und die Menge: \(\{2,14,26,..\}\) bildet eine Äquivalenzklasse. Ein Repräsentant könnte jetzt die \(2\) sein, weil sie die kleinste Zahl ist. Man schreibt oft \([2]=\{2,14,26,...\}\).
Unter diesem Aspekt gesehen, hast du alle Repräsentanten schon aufgeschrieben und sogar schon eine Formel angegeben, um die Menge kompakt zu schreiben. Für unser Beispiel wäre das: \([2]=\{12n+2:n\in\mathbb{N}_0\}\). ─ endlich verständlich 17.11.2019 um 14:32
Wow!! Vielen Dank für deine Hilfe! Du hast es echt super erklärt!
Tut mir leid das ich so viel gefragt habe...
Viele lieben Dank! und noch einen schönen Sonntag 😇 ─ liliegretchen 17.11.2019 um 18:35
Tut mir leid das ich so viel gefragt habe...
Viele lieben Dank! und noch einen schönen Sonntag 😇 ─ liliegretchen 17.11.2019 um 18:35
Danke, es freut mich, wenn ich helfen konnte! :)
Ich finde man sollte sich viel eher entschuldigen, wenn man nicht fragt und völlig überzeugt alles falsch macht oder gar nix macht! Fragen stellen ist sehr wichtig! ;)
Dir auch einen schönen Sonntag. ─ endlich verständlich 17.11.2019 um 18:43
Ich finde man sollte sich viel eher entschuldigen, wenn man nicht fragt und völlig überzeugt alles falsch macht oder gar nix macht! Fragen stellen ist sehr wichtig! ;)
Dir auch einen schönen Sonntag. ─ endlich verständlich 17.11.2019 um 18:43
a) zugrunde liegende Menge: n,m ∈ IN
b) ja, es handelt sich um eine Relation, da die Relation auf M eine Teilmenge mit R ⊂ MxM mit (x,y) ∈ R ist.
c) 1. Reflexivität: (x,x)∈R
2. Symmetrie : (x,y) ∈ R -> (y,x)∈R
3. Transitivität: (x,y) ∈ R ∧ (y,z) ∈ R -> (x,z)∈R
d) bei d weiß ich allerdings nicht, wie ich die Äqivalenzklassen aufschrieben soll....
─ liliegretchen 17.11.2019 um 12:11