Zariski Topologie und algebraische Mengen

Aufrufe: 54     Aktiv: 10.05.2022 um 18:52

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Hey, ich habe eine kurze Frage zur Zariski Topologie und zwar haben wir die wie folgt definiert:
"Sei V $\subset k^n$ eine algebraische Menge. Eine Teilmenge W $\subset$ V heißt abgeschlossen, wenn W selbst eine algebraische Menge ist. Eine Teilmenge U heißt offen, wenn das Komplement abgeschlossen ist."

Eine algebraische Menge von $k^n$ sind doch Punkte $(a_1,...,a_n) \in k^n $, für die eine Teilmenge S des Polynomrings $\K[X_1,....X_n] verschwindet. Habe ich das so richtig verstanden? 

Warum ist dann aber nicht jede Teilmenge einer algebraischen Menge selbst wieder algebraisch, und damit ist jede Menge unter der Zariski Topologie abgeschlossen? Es trifft doch immer zu, dass wenn W algebraisch ist, also die Polynome aus S verschwinden, dann verschwindet S bei einer Teilmenge von W doch erst Recht?
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Überlege dir doch mal ein einfaches Polynom und bilde das Komplement von Vanishing-Menge, dann hast du eine offene Menge
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