Grenzwerte

Erste Frage Aufrufe: 26     Aktiv: 05.01.2022 um 20:37

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Servus, 
Ich bin relativ verwirrt und hoffe, dass einer von euch mir helfen kann. 
Die Funktion ist: x²+4x-12 durch x²-5x+6 und das Grenzverhalten ist gegen Unendlich 
Und laut den Lösungen ist das Ergebnis 1 sowohl + als auch - Unendlich. 
müsse das Ergebnis nicht für + unendlich =  unendlich sein und für -unendlich = - unendlich? 

Ich hoffe, dass mir jemand weiter helfen kann 
Lg Benjamin 
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Das ist schon richtig. Warum sollte aber unendlich rauskommen? Sowohl Zähler als auch Nenner gehen gegen unendlich, das heißt aber nicht, dass der gesamte Bruch das auch tut. Nimm als Beispiel $\frac{2x^2}{x^2}$. Das geht gegen 2, nachdem man mit $x^2$ gekürzt hat, obwohl sowohl Zähler als auch Nenner beide gegen unendlich gehen. 

Der Trick hier ist, $x^2$ in Zähler und Nenner auszuklammern und dann zu kürzen. Dann erhält man sowohl im Zähler als auch im Nenner Brüche in der Klammer, die alle gegen 0 gehen und es bleibt $\frac{1}{1}$ im Grenzwert übrig: $$\frac{x^2+2x+1}{x^2-2x-1}=\frac{x^2(1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2})}{x^2(1-\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2})}\rightarrow 1, |x|\rightarrow \infty$$
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