Scheitelpunkt ohne Nullstellen berechnen

Aufrufe: 335     Aktiv: 14.06.2023 um 10:34
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Hallo gegeben ist die Funktion y= x²+4x+5. Die Funktion hat keine Nullstellen. Nun soll ich den Scheitelpunkt bestimmen. Wie ist da die Vorangehensweise? Am besten möglich einfach mit Lösungsweg. Wie kann man das allgemeingültig berechnen?
Vielen Dank vorab!
Grüße, Leon.
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3 Antworten
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x²+4x+5 = x²+4x+4 + 1 = (x+2)² + 1 - Die Parabel ist also um 2 nach links und um 1 nach oben verschoben, Scheitelpunkt ist (-2,1)
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Lehrer/Professor, Punkte: 40

 

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Kennst du die Scheitelpunktform, die man mit Hilfe der quadratischen Ergänzung bestimmen kann? Das steht bestimmt irgendwo in deinen Unterlagen. Vorgerechnet werden die Aufgaben hier nicht.
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Selbstständig, Punkte: 30.55K

 
Ach so. Du meinst ich soll die Gleichung mit der quadratischen Ergänzung in die Scheitelpunktform bringen. und dann kann ich ja von (x+2)² (-2) als X-Wert von dem Scheitelpunkt ablesen oder? und dann x einsetzen um y zu bestimmen.
Ich lerne aktuell für die Aufnahme Prüfung für die Q-Phase am Abendgymnasium, deswegen kann es sein, dass ich noch ein paar mal was fragen muss.
   ─   leonmathe 13.06.2023 um 17:25
Du kannst direkt beide Koordinaten ablesen. Aber da du ja nun eine Lösung präsentiert bekommen hast, hast du nichts gelernt. Beste Voraussetzungen für das Abendgymnasium!   ─   cauchy 14.06.2023 um 04:10
Ich habe es schon vorher verstanden, bevor er die Lösung geschickt hat. Außerdem habe ich ein Lösungsbuch. Es geht mir eher darum alles zu verstehen, damit ich es auch anwenden kann.
Liebe Grüße   ─   leonmathe 14.06.2023 um 09:53
@cauchy, dafür, dass man die Lösung präsentiert bekommt, kann man ja nichts ABER
@userb25582 dafür, so etwas als hilfreichste Antwort zu akzeptieren, schon.   ─   honda 14.06.2023 um 09:58

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Hier ist eine Möglichkeit, für die man keine Formeln auswendig lernen muss: Verschieb deine Parabel einfach um $5$ Einheiten nach unten. Das heißt definiere eine neue Funktion $y' = x^2+4x$. Davon kannst du einfach die Nullstellen bestimmen: Die erste Nullstelle ist $x = 0$ und die zweite Nullstelle ist $x= -4$. Das heißt du weißt, dass der Scheitelpunkt die $x$-Koordinate $x_S = -2$ hat (einfach genau in der Mitte von den beiden Nullstellen). Setze den Punkt $x_S$ in deine Funktion $y'$ ein, dann kriegst du $y' = (-2)^2+4\cdot(-2) = 4-8 = -4.$ Also ist die $y$-Koordinate vom Scheitelpunkt von $y'$ bei $y_S = -4$.

Das heißt deine nach unten verschobene Parabel hat ihren Scheitelpunkt bei $S' = (-2,-4)$

Jetzt schieb deine Parabel einfach wieder nach oben, das heißt die $y$-Koordinate wird um $5$ Einheiten nach oben verschoben. Dann hast du deinen Scheitelpunkt $S = (-2,1)$

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danke für deine Hilfe. Das ist doch umständlicher als die Scheitelpunktform zu nutzen oder?
   ─   leonmathe 13.06.2023 um 17:50
Musst du für dich selbst entscheiden.   ─   zestysupreme 13.06.2023 um 17:57
@ zestysupreme vorgerechnet wird nicht! Erklären der Vorgehensweise käme vermutlich sogar einfacher rüber.

@ userb25582 die Antwort klingt komplizierter als sie ist (kannst mit Geogebra nachvollziehen):
Absolutes Glied weglassen, x ausklammern und mit Satz vom Nullprodukt die Nullstellen berechnen. Der x-Wert des Scheitels liegt genau dazwischen. Diesen für den y-Wert in die Ausgangsgleichung einsetzen.
Würde ich sogar machen, wenn die Parabel Nullstellen hätte, die muss man ja auch vorher umständlich ausrechnen.

Für Leute, die quadratische Ergänzung vergessen oder nie gelernt haben. Die vollständige Umformung in die Scheitelform mittels quadratischer Ergänzung (siehe dein Kommentar in der anderen Antwort) liefert übrigens auch den y-Wert des Scheitels.
   ─   honda 13.06.2023 um 19:05
Ja Honda. Die Rechnung ist in meinen Augen auch eher umständlich. Mit der Scheitelpunktform habe ich es ja auch nun verstanden. Ich weiß bescheid und werde nicht mehr nach einer Vorrechnung fragen.
LG Leon   ─   leonmathe 13.06.2023 um 20:27
Man kann dann auch gleich die Formel $x_S=-\frac{b}{2a} $ lernen... Und mal wieder prima vorgerechnet...   ─   cauchy 14.06.2023 um 04:14
@userb25582 nach meiner Erfahrung vergessen viele die korrekte Anwendung der quadr. Erg. nach einiger Zeit wieder. Der Vorgang mit der Verschiebung und sehr leichter Bestimmung des xS- Wertes ist weniger abstrakt und bleibt daher leichter im Gedächtnis.   ─   honda 14.06.2023 um 10:34

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