Potenzreihe: Konvergenzintervall Resubstitution

Aufrufe: 41     Aktiv: 26.12.2021 um 16:30

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Zu der folgenden Reihe (siehe Bild) soll der Konvergenzbereich angegeben werden. Das Bildungsgesetz ist hier: $\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4*n^2 -1}*((x-3)^2)^n$ . Mithilfe der Substitution habe ich $(x-3)^2 = z$ gesetzt und bin am Ende auf ein Konvergenzradius von $z<1$ gekommen, wie es in der Lösung steht (siehe 2. Bild). Im Konvergenzintervall habe ich resubstituiert und $-1<(x-3)^2<1$ gesetzt (mit Randpunkten berücksichtigt). Nun wurde in der Lösung das Konvergenzintervall nach $x$ aufgelöst und da tritt bei mir das Problem auf, dass ich keine negative Wurzel ziehen darf. Ich habe vermutet, dass ich vielleicht, da $(x-3)^2$ niemals negativ werden kann, negative Zahlen aus dem Intervall streichen kann. Dann würde es folgendermaßen aussehen: $0\leq (x-3)^2<1$. Nur dann würde ein Intervall von $3<x<4$ rauskommen, was hier falsch ist. Wie löse ich dieses Problem?


Lösung:

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Achte sorgfältig auf die Begriffe, dann tritt solche Verwirrung auch nicht auf.
Wenn der Konvradius für die Reihe mit $z$ 1 ist (hab ich nicht nachgerechnet) dann bedeutet das: Die Reihe konvergiert für alle $z$ mit $|z|<1$. Dies führt auf $(x-3)^2<1$, was auf $|x-3|<1$ führt, was sich (Zahlengerade!, Betrag ist Abstand auf der Zahlengeraden) problemlos zu $2<x<4$ umstellen lässt.
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