Bijektivität zeigen mit Bedingung

Aufrufe: 228     Aktiv: 21.10.2023 um 23:51

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Hallo,

meine Frage bezieht sich auf folgende Aufgabe:

Meine Notizen sehen erstmal so dazu aus:

Ich hoffe man kann meine Frage verstehen: Also ich verstehe das so, dass bei der Abbildung $f$ ja einem $a\in A$ einem $b\in B$ zugeordnet wird, aber wir wissen nicht genau wie. Ist die Abbildung $g$ unbedingt eine Umkehrfunktion (also eine symmetrische Zuordnung der Elemente a und b zu f) nur wenn es die selben Mengen sind? Die Zuordnung von a und b könnte ja anders sein? Mit den zusätzlichen Bedingungen, dass $g \circ f = id_{A}$ und $f \circ g = id_{B}$ sei, können wir da z. B. beim Ersteren genau sagen, dass $g(f(a))$ wirklich wieder das Gleiche $a$ als Ergebnis hat? Nach meiner Vorstellung könnte ja die Abbildung $g$ das $b$ einem anderen $a$ zuordnen innerhalb der Menge A? Oder ist das nicht wichtig? Ich wüsste auch ab hier nicht wirklich, wie ich weiterkommen soll.
Zusätzlich habe ich das Ganze mit einem Beispiel einer bijektiven Funktion $f(x) = x^3$ einmal versucht, ob die Bedingungen gelten, und ich meine es ging bei mir auf.

Ich habe generell noch viele Verständnisprobleme, was Begriffe und Konzepte etc. angeht, weshalb ich hier noch nicht so formal schreibe. Ich hoffe das ist ok.

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Moin,

Das mit den Zuordnungen hast du richtig verstanden. Und ja, wenn die obige Bedingung gegeben ist, dann ist g eine Umkehrfunktion zu f und f eine Umkehrfunktion zu g. Denn egal was die Funktion f mit einem Element a aus A anstellt, g bringt uns immer wieder zurück zu a und umgekehrt. Denn genau so ist ja die Identität definiert; als die Abbildung, die jedes Element auf sich selbst abbildet.

Zur Aufgabe selbst: Es sind 2 verschiedene Implikationen zu zeigen. Erstens, dass $$f \text{ bijektiv }\implies \exists g \text { s.t. } f \circ g=\text{id$_B$} \text{ und } g\circ f=\text{id$_A$}$$ und zweitens$$\exists g \text { s.t. } f \circ g=\text{id$_B$} \text{ und } g\circ f=\text{id$_A$} \implies f \text{ bijektiv }$$Die erste Implikation ist leichter, man definiert sich einfach die Umkehrfunktion g als die Funktion, die das Bild jedes a wieder auf sich selbst abbildet. Dann muss man nur zeigen, dass diese Funktion wohldefiniert ist. Für die zweite Implikation kann man zum Beispiel einen Widerspruchsbeweis führen, d.h. man nimmt an, dass f nicht surjektiv bzw. injektiv ist und konstruiert einen Widerspruch.

Probier dich nochmal mit diesen hinweisen an der Aufgabe, und melde dich, wenn es nicht weitergeht.

LG
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Danke für deine hilfreiche Antwort.
Du meintest, dass egal was die Funktion $f$ mit einem Element a aus A anstellt, dass $g$ es wieder zurück zu $a$ bringt. $g(f(a)) = id_{A}$ lese ich so, dass $f(a)$ die Zuordnung von $f$ in Form eines $(a,b)$ Paares ist. Hier kann ja $a \neq b$ sein. Ich tue dann ja $g(b) = id_{A}$ setzen, sodass ein durch die Abbildung $g$ ein zu $b$ zugeordnetes $a$ rauskommt. Aber durch die Definition der Identität wird, wenn ich dich richtig verstehe, die Abhängigkeit $f$ von $a$ nur betrachtet, sodass $g(f(a))=g(b)=id_{A}$ immer das entsprechende $a$, was in $f$ eingesetzt wird, rausbekommt, unabhängig was für $b$ rauskommt (also Abbildung auf sich selber kurzgefasst).

Ich hätte nochmal die Frage, was $s.t.$ bedeutet? Ich werde es erstmal mit den Hinweisen versuchen. Ist immernoch etwas schwierig, weil zumindest in meiner Vorlesung und Übung sowas noch nicht derart gemacht worden ist. Der Begriff der verketteten Funktion wurde auch noch nicht behandelt etc..
  ─   unclever2001 21.10.2023 um 17:23

s.t. heißt "such that" zu deutsch "so dass"

Du wirst selten ähnliche Beispiele in der Vorlesung finden. Solche Aufgaben dienen dazu, sich mit den Begrifflichkeiten auseinanderzusetzen. Sowas funktioniert selten auf Anhieb.
  ─   cauchy 21.10.2023 um 19:44

Ok. Habe ein paar Ideen gesammelt, aber ich bin mir bei der 1. Implikation nicht ganz sicher wie ich das zeigen soll. Dort habe ich, wenn ich deinen Ansatz richtig verstanden habe, gesagt, dass $g(f(a)) := id_{A}(a) = a$ sein soll. Da es sich ja um eine Identitätsfunktion handelt, gehe ich davon aus, dass ich die Wohldefiniertheit durch die monoton wachsende Eigenschaft irgendwie zeigen kann. Sicher bin ich mir aber nicht.
Zur 2. Implikation habe ich etwas mehr: Zuerst habe ich gesagt, dass $\exists a_{1},a_{2}\in A$ und wenn $f$ nicht injektiv ist, dann gilt $f(a_{1})=f(a_{2}) \Rightarrow a_{1}\neq a_{2}$. Dies diente dazu, um zu zeigen, dass die Annahme, dass $f$ nicht bijektiv ist, nicht stimmen kann. Dann habe ich dies in einer der beiden Bedingung eingesetzt, nämlich $g\circ f = id_{A}$ und bekam $g\bigl(f(a_{1})\bigr)=g\bigl(f(a_{2})\bigr)=id_{A}(a_{1})=id_{A}(a_{2})$ als Ausdruck, welcher dank der Identitätsabbildung zu $a_{1} = a_{2}$ führt. Dies wäre ein Widerspruch zu der Annahme, dass $f$ injektiv ist. Jetzt müsste man die Surjektivität von $f$ prüfen oder ist der Widerspruchsbeweis bereits vollendet? Die Annahme, dass $f$ nicht bijektiv ist, habe ich ja widerlegt? Somit müsste ja die 2. Implikation wahr sein?

@cauchy Danke für die Übersetzung und den Hinweis. Ich verstehe nun etwas mehr den Sinn dahinter. Der Frust ist ein wenig unangenehm, wenn ich lange brauche etwas zu verstehen, aber ich versuche durchzuhalten.
  ─   unclever2001 21.10.2023 um 23:03

Das ist schon mal ein Anfang. Zur ersten Implikation: Wir definieren $g$ als die Funktion, die $f(a)$ auf $a$ abbildet. Das ist wohldefiniert, weil alle $f(a)$ voneinander verschieden sind für unterschiedliche $a$ (wieso?). Also gilt $g(f(a))=Id_A$. Außerdem ist der Definitionsbereich von $g$ gleich ganz B (wieso?) und es gilt $f(g(b))=Id_B$. Damit wäre dann die erste Implikation gezeigt.

Zur zweiten Implikation: Da ist noch einiges durcheinander. Wir nehmen zuerst an, dass $f$ nicht injektiv ist. negieren wir die Aussage der Injektivität, so erhalten wir: $\exists a_1,a_2: a_1\neq a_2 \text{ und } f(a_1)=f(a_2)$. Jetzt kannst du so weiter machen, wie von dir beschrieben, das führt einen recht schnell zu einem Widerspruch. Was bedeutet das? Wir aus einer Aussage eine falsche Aussage gefolgert, also muss (Logik wurde in der Vorlesung hoffentlich kurz besprochen) die ursprüngliche Aussage (die Prämisse) falsch sein, also $f$ injektiv.
Auf die gleiche Weise zeigst du, dass f surjektiv sein muss, dann bist du fertig.

LG
  ─   fix 21.10.2023 um 23:51

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