Nr 1

a)

In die Funktion \(0\) einsetzen und berechnen, dürfte klar sein.

Für den Grenzwert: \(\lim\limits_{x\to\infty}f_k(x)\) musst du dir \(\lim\limits_{x\to\infty}e^{-kx}=?\) überlegen.

b)

\(\int\limits_{0}^1f_k(x)dx=5.5\) lösen, dazu die Stammfunktion \(F_k(x)\) bilden, einsetzen und nach \(k\) auflösen.

Nr 2

Bedingungen für einen knickfreien Übergang aufstellen und dann das Gleichungssystem lösen.

Also \(f(2)=g(2)\), \(f'(2)=g'(2)\)

Nr 3

a)

Mit Baumdiagramm oder Bernoulli Formel lösbar. Dazu die Wahrscheinlichkeit für mindestens \(2\) Erfolge berechnen.

b)

Formel für den Erwartungswert aufstellen und dann gleich null setzen.

Bei konkreten Fragen kann ich dir auch etwas vorrechnen.

Zu Aufgabe 3)

a)

Die Wahrscheinlichkeit für eine Getränkemarke beträgt \(p=1/5=0.2\)

Die Anzahl \(n\) der Versuche ist \(n=3\).

Es handelt sich um ein Zufallsexperiment, bei dem es als Ausgang "Erfolg" oder "Misserfolg" gibt.

Gesucht ist dieWahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Erfolge eintreten, also dass er entweder zwei- oder dreimal eine Getränkemarke zieht.

Gesucht ist also

\(P(X\geq2)=P(X=2)+P(X=3)\)

Es gibst mehrere Möglichkeiten das zu lösen.

Du kannst es über die Bernoulli Formel ausrechnen. Nach dieser gilt:

\(P(X=k)=\left(\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right)*p^k*(1-p)^{n-k}\)

Dabei ist

\(\left(\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right)=\frac{n!}{k!(n-k)!}\)

Du berechnest also:

\(P(X\geq2)=P(X=2)+P(X=3)=\left(\begin{array}{c}3\\2\end{array}\right)*0.2^2*(1-0.2)^{3-2}+\left(\begin{array}{c}3\\3\end{array}\right)*0.2^3*(1-0.2)^{3-3}=10.4\%\)

Zugegeben, das wäre der komplizierte Weg. Einfacher wäre der Weg über ein Baumdiagramm. Trotzdem bekommst du hiermit auch die richtige Lösung.

Für das Baumdiagramm zeichnest du dir einfach die drei Versuche mit den dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten ein. Dann addierst du alle Pfade, entlang denen mindestens zwei mal eine Getränkemarke gezogen wird.

Ich habe dir die passenden Pfade markiert.

Du errechnets also:

\(p=(\frac{1}{5})^3+3*(\frac{1}{5})^2*\frac{4}{5}=\frac{13}{125}\)

Jetzt in Prozent umrechnen:

\(\frac{13}{125}*100\%=\frac{1300}{125}\%=\frac{260*5}{25*5}\%=\frac{260}{25}\%=\frac{260}{\frac{100}{4}}\%=\frac{4*260}{100}\%=\frac{1040}{100}\%=10.4\%\)

b)

Hier ist der Erwartungswert \(E(X)\) gesucht. Hier werden die Wahrscheinlichkeiten für das Eintreffen eines Gewinnes/Verlustes multipliziert mit dem jeweiligen Gewinn/Verlust addiert.

Wir berechnen den Kaufpreis von 1000 Glückskeksen \(0.25€*1000=250€\)

Den Preis für ein Getränke nennen wir \(a\)

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Getränk gezogen wird, ist \(p=\frac{1}{5}\)

Jetzt werden alle Gewinne positiv und alle Verluste negativ verrechnet. Du erhälst:

\(E(X)=250€-30€-\frac{1}{5}a*1000\)

Damit wir keinen Verlust machen, muss gelten: \(E(X)=0\)

\(250€-30€-\frac{1}{5}a*1000=0\)

\(220€=\frac{1}{5}a*1000\)

\(220€=200a\)

\(\frac{220€}{200}=1.10€=a\)

Ein Getränk darf den Besitzer also maximal \(1.10€\) kosten, damit er keinen Verlust macht.

Ich weiß nicht ob es dir hute noch was bringt, aber hier die Integralaufgabe:

Gegeben: \(f_k(x)=5+ke^{-kx}\)

Gesucht: \(\int\limits_0^1f_k(x)dx=5.5\)

Du weißt, dass für ein bestimmtes Integral gilt:

\(\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)\)

Du musst also zuerst die Stammfunktion bilden.

\(F_k(x)=5x-e^{-kx}\)

Für das gesuchte Integral gilt also:

\(\int\limits_0^1f_k(x)dx=F_k(1)-F_k(0)=5.5\)

Jetzt einfach in die Stammfunktion einsetzen:

\(F_k(1)-F_k(0)=5*1-e^{-k*1}-(5*0-e^{-k*0})=5-e^{-k}+e^0=5-e^{-k}+1=6-e^{-k}=5.5\)

Jetzt musst du nur noch 

\(6-e^{-k}=5.5\)

nach \(k\) auflösen.

\(6-e^{-k}=5.5\)

\(-e^{-k}=-0.5\)

\(e^{-k}=0.5\)

\(-k=\ln(0.5)\)

\(k=-\ln(0.5)=\ln(2)\)