Hallo,

bei der ersten Aufgabe hast du in relativ schlechter Qualität die ersten drei Ableitungen gegeben. Erste und zweite gehen, die dritte sieht man kaum.

Wenn die erste Ableitung eine Gerade ist, wie bei a) und d), war die ursprüngliche Funktion eine Parabel. Sie hat da ihre Extrempunkte, wo die Gerade durch den Punkt \(0\) läuft. Wenn die Ableitung vorher oberhalb von Null verläuft, so wie bei a), dann war die Steigung erst positv, die Parabel muss also nach unten geöffnet sein. Nach oben geöffnet war sie, wen wie bei d) die gerade erst negativ und dann positv ist. Dieses Phänomen kannst du bei \(x^2\) und \(x\) nochmal nachvollziehen, den beiden einfachsten Funktionen, die Parabel bzw. Gerade repräsentieren. Außerdem haben Parabeln keine Wendepunkte. Somit sind a) und d) jetzt hoffentlich klar: du hast Parabeln als Funktionen mit Hochpunkt \(4\) bei der a) und Tiefpunkt \(-1\) bei der d).

Ist die erste Ableitung eine Parabel, dann war die ursprüngliche Funktion von Grad \(3\). So wie bei b), c) und f) (warum nicht e)?). Wenn die Parabel (Ableitung) immer positiv oder immer negativ ist, dann gibt es überhaupt keine Extrema (Kann bei 3.Grad Funktionen passieren, bei Parabeln nicht!). Das ist in c) der Fall. eine Funktion 3. Grades muss aber genau einen Wendepunkt haben. Der ist genau da, wo die zweite Ableitung (Gerade)  Null wird. Im Fall b) hast du zwei Extrema, weil die Parabel zwei Mal durch die 0 geht. In Fall f) hast du auch kein Extremum, sondern ein Sattelpunkt. Das siehst du daran, dass die Parabel nur einen Schnitt mit der \(x\)-Achse hat bzw. daran, dass auch die Gerade (2. Ableitung) durch den gleichen Punkt auf der \(x\)-Achse läuft. Ob vor den Wendestellen eine Links- oder Rechtskrümmung vorliegt, das kannst du auch am Verlauf der 2. Ableitung (Gerade) sehen, wenn sie steigt, liegt ein rechts-links-Wechsel vor, sonst ein links-rechts-Wechsel. Du kannst es auch an der Öffnung der Parabel sehen. Ist diese nach oben geöffnet, muss die Ableitung der Parabel (Gerade) steigen und es liegt ein rechts-links-Wechsel statt. Ob etwas links- oder rechtsgekrümmt ist, kannst du dir so vorstellen: Du fährst mit dem Fahrrad auf der Kurve entlang. Wenn du nach rechts lenken musst (Linke Hand ist dann vorne) ist es eine Rechtskrümmung.

Die g) ist am schwersten, weil die 1. Ableitung schon von Grad \(3\) ist. Da die 1. Ableitung aber dreimal durch die Null geht, gibt es auch 3 Extrema. Du kannst dir um die Nulldurchgänge deiner Funktion 3.Grades vorstellen, sie wäre da eine Gerade. Wenn sie also von negativ zu postiv geht, was muss es dann für ein Punkt sein? Hochpunkt oder Tiefpunkt? -> Schau bei der Parabel nach! :)

Die Wendestellen sind da, wo die zweite Ableitunge ihre Nulldurchgänge hat (bzw. die x-Achse schneidet, bzw. Null wird). Auch da bestimmst du die links-rechts-Gekrümmtheit analog zum vorigen Fall, diesmal überlegst du dir ob die 2. Ableitung beim Nulldurchgang steigt oder fällt.

Ich hoffe das hilft dir und du rockst deine Schulaufgabe! :)