Isometrien, affine Linearität und Linearität

Aufrufe: 174     Aktiv: 28.09.2023 um 19:52

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Hi!

Ich hab mir mal auf nem Notizzettel aufgeschrieben: f € Isom(R^2,d2) => f affin linear => f - f(0) linear. Leider hab ich da nichts anderes dazugeschrieben und jetzt hab ich die ganze Zeit überlegt, ob das so stimmt oder nur für eine bestimmte Aufgabe war, aber ich komm nicht drauf. Also die zweite Implikation verstehe ich schon (glaub ich): das ist einfach nur die Definition von einer affin linearen Abbildung, aber die erste Implikation ist mir nicht so klar...
Vielleicht kann mir ja jemand weiterhelfen :)

Emilia
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Also, ich nehme mal an, dass das d2 die Metrik ist, die auf der euklidischen Norm beruht, also
\( d2((x_1,y_1),\, (x_2,y_2)) \;=\; \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2} \)
Da die euklidische Norm strikt konvex ist, gilt laut dem diesem Abschnitt in der Wikipedia, dass jede Isometrie auch eine affine lineare Abbildung ist.
Und laut der Definition Definition von affinen Abbildungen ist dann \(f-f(0)\) - im Spezialfall \(A=V_A, B=V_B\) - linear.

Also wird das wohl stimmen, was auf Deinem Zettel steht.
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