Dimensionen und Einheiten Problem

Aufrufe: 586     Aktiv: 18.04.2023 um 19:37

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Hallo, 

Ich glaube ich tick entweder nicht mehr richtig oder es stimmt wirklich. 

Also diese Frage ist jetzt aufgekommen wegen integralrechnung, (Fläche die wie alles mögliche aussehen kann, sowie volumen und linien auch aussehen können wie sie wollen zb kurven, röhren, alles mögliche).

Wenn man cm * cm nimmt, kann man ja die einheit cm als eine art variable/zahl betrachten auf die man sich geeinigt hat, wenn man also cm *cm macht, tut man ja in anderen worten den Zentimeter insgesamt "Zentimeter mal" mit sich addieren, was ja theoretisch gesehen cm² sein müsste, warum ist dann aber ein umfang zb trotzdem zentimeter hoch 1 oder eine Fläche cm hoch 2 ?


Also in anderen worten, warum kann man die fläche einer simpelsten fläche zb ein quadrat nicht additiv berechnen, sondern nur multiplikativ ???
zb durch eine unendliche summe oder so.
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Ein Umfang ist im Zweidimensionalen eine Strecke. Beispiel Rechteck: 2*a +2*b die Einheit ist cm Oder mm  oder m oder km oder, oder ...
Die Fläche ist a *b und damit cm ^2 oder m^2, oder oder 

das Volumen ist a*b * h ( gemeint Höhe )
und die Einheit dann cm ^3 oder m^3 usw.
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ja gut aber ich glaub er meint warum man die Fläche eines Quadrates nicht mithilfe von längen aufsummieren kann, also warum sind 2cm * 2cm = 4cm² aber nicht 2cm + 2cm +2cm +2cm = 4cm²   ─   parabelsinuslp 12.01.2023 um 12:29

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Deine Vorstellung, dass ein Zentimeter eine Zahl ist, auf die man sich geeinigt hat, ist nicht ganz richtig. Natuerlich ist ein Zentimeter willkuerlich auf eine bestimmte Laenge festegelegt worden (bzw. der Meter https://de.wikipedia.org/wiki/Urmeter), aber es ist eben eine Messgroesse und somit mehr als eine Zahl. Es eine Messgroesse fuer Laenge (was auch immer das physikalisch ist), die mithilfe von Zahlen beschrieben werden. Allerdings sind 1 cm eben auch 0.1 dm, 0.01 m, 10 mm, 0.0328084 ft usw., d.h. welche Zahl dem Zentimeter entspricht, haengt davon ab welche Einheit man benutzt. Laenge wird immer als Zahl und Einheit angegeben.
Die Zahlen selbst haben keine Einheit, man nennt das auch dimensionslos.

Dieser Unterschied zwischen Zahlen auf der einen Seite und Messgroessen (wie z.B. Laenge gemessen in cm) ist entscheidend. So ist 2*2cm = 2 cm + 2 cm = 4 cm, aber 2cm * 2cm = 4cm^2, was nicht dasselbe ist, da du einmal 2 und einmal 2cm benutzt.

Deutlich wird das wenn du obiges in Fuss umrechnest. Aus den 2cm wird (ca.) 0.0656 ft, aber die 2 bleibt die 2:
2*2cm=2*0.0656ft=0.1312ft was wieder umgerechnet in Zentimeter 4 cm ergibt (gerundet). Fuer die Flaeche hast du 0.0656 ft * 0.0656 ft = 0.00430 ft^2. Auch das gibt gerundet wieder 4cm^2, wenn du es umrechnest. (Beachte dabei das 1 cm = 0.0328084 ft, aber 1 cm^2 = 1cm * 1cm = 0.0328084 ft * 0.0328084 ft = 0,00107639 ft^2).

Diese Vorstellung das Multiplikation von a*b einfach nur b a-mal oft zu addieren funktioniert deshalb nicht, wenn du zwei Messgroessen multiplizieren moechtest. Merke dir am besten beim Rechnen von Messgroessen, dass du einerseits die ganzen Messgroessen verrechnest und einmal die Zahlen (ohne die Messgroessen) zusammenrechnest. Letzteres kannst du so machen, wie du es vom Rechnen mit Zahlen kennst.
Besipiel: 2cm * 2cm
    Einheiten: cm*cm = cm^2
    Zahlen: 2*2 = 4
    Ergebnis: 4 cm^2

 

PS: Danke an @parabelsinuslp fuer die Hilfe beim Verstaendnis.

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Ist aber eine messgröße und somit eine größe zum messen Fundamentalisch keine zahl? Weil jede länge die in cm gemessen wird ist somit ein vielfaches der zahl „Zentimeter“?   ─   parabelsinuslp 12.01.2023 um 14:52

Also ich glaube das die frage schon berechtigt ist und das etwas paradoxisch klingt weil der Leibniz mit den Summen der längen eines flächenstücks von cm auf cm^2 gekommen ist. Und es war die Exakte Zahl.   ─   parabelsinuslp 12.01.2023 um 14:57

könnte es sein, dass userfd12dd und parabelsinuslp ein und die selbe Person sind?   ─   mpstan 12.01.2023 um 16:43

uh ja das war mein schulaccount lol   ─   userfd12dd 12.01.2023 um 18:01

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Eine Einheit ist halt eine Einheit und keine Zahl.   ─   cauchy 12.01.2023 um 19:23

Naja, vielleicht habe ich einfach unrecht, kann das sein das eine Fläche die ja aus unendlich vielen 1 dimensionalen linien besteht, was heißt das nach unendlich vielen schritten immernoch 0 cm² erreicht sind weil man nie in die 2. dimension eine menge hinzugefügt hat; und hat das dann mit der mengentheorie zutun, anstatt logik, also zb das unedlich - 1 = unendlich ist oder unendlich + 1 = unendlich ist und so? (Hilberts Hotel).   ─   parabelsinuslp 13.01.2023 um 07:45

Eine Fläche kann durch (mitunter auch unendliche) Summation von infinitesimalen Flächen beschrieben werden, die so dünn werden können, dass sie Linien ähneln, aber dennoch nie ihre zweite Dimension verlieren. Tatsächlich spielt es keine Rolle, wie viele Linien man addiert, es wird nie eine Fläche werden, da einem ja eine Dimension fehlt. Mit Hilberts Hotel hat das allerdings nichts zu tun.
Wenn du dich in der Schule schon mit außerschulischen mathematischen Themen beschäftigen willst, ist es empfehlenswert, sich an Lehrbücher online-Kurse zu halten, damit man sich kein nutzloses (und potentiell verwirrendes) Halbwissen aneignet.
  ─   fix 13.01.2023 um 18:23

Um nein das ist nicht ganz richtig, okay das kann sein das eine Fläche nicht aus unendlich vielen 1 dimensional linien besteht okay was auch immer, jedoch ist es egal wie infinitesimal klein eine Fläche ist, wenn man das aufsummiert bis ins unendliche, kommt unendlich als ergebnis raus, beziehungsweise 0 wenn es eine Linie ist (also Fläche = 0).   ─   userfd12dd 17.04.2023 um 20:43

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Die Frage ist tatsächlich interessanter als ich zuerst vermutet hatte, wenn man versucht es tatsächlich zu erklären.

Früher wurden Quadratmeter ja als qm angegeben. Die Schreibweise m² kam erst später um die Verwechselung mit Kubikmetern deutlicher zu unterscheiden.

Einheiten sind im Grunde eine Art Sprachkonvention auf die man sich standardisiert geeinigt hat, um zu verdeutlichen wie gemessen wurde. 

Viele Einheiten gehen daher ja sogar auf Namen von Wissenschaftlern zurück und damit nicht direkt auf das eigentliche Messverfahren (Newton, Joule, Watt z.B.).

Insofern darf man den mathematischen Wert, enthalten in der Einheit selbst im Grunde nicht viel stärker werten als eben einen Hinweis auf das jeweilige Messverfahren.

Die am einfachsten zu bestimmende Fläche ist nunmal das Quadrat, dessen Flächeninhalt durch Multplikation (bzw. Quadrieren) der gleichen Seitenlängen bestimmt wird.

PS: Jede Multiplikation lässt sich als Addition ausdrücken. So auch bei der Fläche. Die Breite der zu addierenden Flächen entspricht dabei einer Einheit des gewählten Längenmaßes der Seitenlängen.

Bei einer Kreisfläche z.B. biegen wir Kreisringflächen mit der Dicke einer Einheit des Umfang-Längenmaßes so oft in die Ebene und stapeln sie bis wir beim Mittelpunkt des Kreises angekommen sind.

Würden wir sie hintereinanderlegen, wäre es die Veranschaulichung der Addition, wobei wir zuletzt immer noch die Breite der gewählten Längenmaßeinheit also 1 multiplizieren würden womit es wieder eine Multiplikation zweier Längeneinheiten wäre.

Vielleicht ist es so gedanklich besser nachvollziehbar.
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Hm die Einheit liefert immer den Hinweis "in welcher Relation zur unendlich dünnen Zwiebelscheibe" wir uns bewegen^^
Schafft den Rahmen und Maßstab für diese Relation. (Letzten Satz bitte nicht überbewertend kritisch sezieren, sondern als veranschaulichendes Zwinkern verstehen).
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Okay, aber zum beispiel woher wissen wir eigentlich das die fläche von einem rechteck höhe mal breite ist, also bei einem Koordinatensystem ist ja R hoch 2 also das Kartesische Produkt, was Aleph2 Kardinalität hat, und eine linie (eben die reelle zahlen achse) aleph1 ist. Also dann heist das doch, das man jeden punkt auf der Reellen zahlenachse mit einer weiteren Zahlenachse tauscht, das man eine Fläche hat, also dann insgesamt wie bei einer diskreten summe x(1+2+3) = x+2x+3x. Also ist das das Gleiche wie wenn man nur länge achse mal höhe achse multipliziert   ─   userfd12dd 17.04.2023 um 22:30

Bin langsam nicht mehr sicher, ob es noch um die Einheit geht.
Definition Flächeninhalt:
"Der Flächeninhalt ist ein Maß für die Größe einer Fläche. Unter Fläche versteht man dabei zweidimensionale Gebilde, das heißt solche, in denen man sich in zwei unabhängige Richtungen bewegen kann."

Hab das Gefühl wir sind nun langsam bei den Fragen "Was ist eine Fläche?" und "Woraus setzt sie sich zusammen?" angekommen.

Mit Sicherheit auch interessant, ob ein Punkt die kleinste aber nur idealisierte Einheit ist und ob Punkte sich nahtlos aneinanderfügen lassen um eine Fläche tatsächlich vollständig so zu füllen, dass keine Zwischenräume bleiben und ob alle Punkte die gleiche Form dabei haben.

Mir ist es etwas zu philosophisch, auch wenn es durchaus interessante Aspekte sicherlich hat.
  ─   willswissen 18.04.2023 um 00:02

Ja du hast recht es ist etwas philosophisch, aber was ich damit bestätigen wollte ist, das eine Linine Unendlich klein bzw Infinitesimal ist, im Gegensatz zur Fläche, weil eine Fläche aus diesen Lininen besteht, die nicht sehr kleine fläche haben, sondern 0 Fläche haben, wie die Ableitungsregel in Analysis, wo der Exponent sich um eins verringert (also seine dimension)   ─   userfd12dd 18.04.2023 um 07:15

Und dann widerrum besteht eine Linie aus unendlich vielen Punkten, die Ihre länge ausmachen, so wie die seiten eines Quadrats, ihre Fläche ausmachen   ─   userfd12dd 18.04.2023 um 07:18

Bin mir nicht sicher, ob ich das nun richtig verstanden haben.

Mir hilft es jedenfalls, wenn ich mir zB eine Linie dargestellt durch Pixel vorstelle und dann immer weiter heran zoom. Das einzige was sich dabei im Grunde verändert ist der Maßstab/ das Raster bzw. die Position meines Aussichtspunkt in Relation zur Linie.

Und eben deswegen ist es sinnvoll Einheiten zu vereinbaren, die die Information beinhalten in welcher Relation zur Linie ich mich in der Betrachtung befinde.

Ich denke jedenfalls, dass die ursprüngliche Frage recht ausführlich beantwortet wurde. Wenn sich darüber hinaus neue Fragen ergeben sollten, macht es zwecks Übersicht Sinn sie auch als neue Fragen zu formulieren und diese Frage als beantwortet kenntlich zu machen.
  ─   willswissen 18.04.2023 um 14:11

@willswissen hast du dir mal die anderen Fragen des Fragestellers angeschaut? Macht für mich den Eindruck eines Trolls.   ─   maqu 18.04.2023 um 15:05

Vorstellen kann ich mir das schon aber ich weiß es eben nicht und es ist ja nicht an mir das zu beurteilen.

Ausgangsfrage fand ich grundsätzlich berechtigt aber diese scheint mir mittlerweile auch beantwortet zu sein.
Die anderen Fragen des fragys hatte ich bisher nicht großartig gesichtet.

Wenn du ausreichend Bedenken hast, solltest du es melden damit es geklärt wird und hier ggfs nicht stört.
  ─   willswissen 18.04.2023 um 16:19

Hier ist ein Link, wenn ich dürfte: https://repozytorium.biblos.pk.edu.pl/redo/resources/39728/file/scans/DEFAULT/OCR_rezultaty/100000296037_A_v1_200dpi_q60.pdf , es ist ein Buchauszug von der damaligen infinitesimalrechnung von einer Bibliothek, das buch ist sehr alt, es geht um die Abstraktion über Linie und Punkt als Grenzbegriffe also infinitesimale, das alles steht im Paragraf 1 seite 1 + 2. Vielleicht kann ich es einfach nicht erklären irgendwie ???   ─   userfd12dd 18.04.2023 um 19:36

Oder ich selbst habe es einfach falsch verstanden   ─   userfd12dd 18.04.2023 um 19:37

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