Ein Umfang ist im Zweidimensionalen eine Strecke. Beispiel Rechteck: 2*a +2*b die Einheit ist cm Oder mm  oder m oder km oder, oder ...
Die Fläche ist a *b und damit cm ^2 oder m^2, oder oder 

das Volumen ist a*b * h ( gemeint Höhe )
und die Einheit dann cm ^3 oder m^3 usw.

Deine Vorstellung, dass ein Zentimeter eine Zahl ist, auf die man sich geeinigt hat, ist nicht ganz richtig. Natuerlich ist ein Zentimeter willkuerlich auf eine bestimmte Laenge festegelegt worden (bzw. der Meter https://de.wikipedia.org/wiki/Urmeter), aber es ist eben eine Messgroesse und somit mehr als eine Zahl. Es eine Messgroesse fuer Laenge (was auch immer das physikalisch ist), die mithilfe von Zahlen beschrieben werden. Allerdings sind 1 cm eben auch 0.1 dm, 0.01 m, 10 mm, 0.0328084 ft usw., d.h. welche Zahl dem Zentimeter entspricht, haengt davon ab welche Einheit man benutzt. Laenge wird immer als Zahl und Einheit angegeben.
Die Zahlen selbst haben keine Einheit, man nennt das auch dimensionslos.

Dieser Unterschied zwischen Zahlen auf der einen Seite und Messgroessen (wie z.B. Laenge gemessen in cm) ist entscheidend. So ist 2*2cm = 2 cm + 2 cm = 4 cm, aber 2cm * 2cm = 4cm^2, was nicht dasselbe ist, da du einmal 2 und einmal 2cm benutzt.

Deutlich wird das wenn du obiges in Fuss umrechnest. Aus den 2cm wird (ca.) 0.0656 ft, aber die 2 bleibt die 2:
2*2cm=2*0.0656ft=0.1312ft was wieder umgerechnet in Zentimeter 4 cm ergibt (gerundet). Fuer die Flaeche hast du 0.0656 ft * 0.0656 ft = 0.00430 ft^2. Auch das gibt gerundet wieder 4cm^2, wenn du es umrechnest. (Beachte dabei das 1 cm = 0.0328084 ft, aber 1 cm^2 = 1cm * 1cm = 0.0328084 ft * 0.0328084 ft = 0,00107639 ft^2).

Diese Vorstellung das Multiplikation von a*b einfach nur b a-mal oft zu addieren funktioniert deshalb nicht, wenn du zwei Messgroessen multiplizieren moechtest. Merke dir am besten beim Rechnen von Messgroessen, dass du einerseits die ganzen Messgroessen verrechnest und einmal die Zahlen (ohne die Messgroessen) zusammenrechnest. Letzteres kannst du so machen, wie du es vom Rechnen mit Zahlen kennst.
Besipiel: 2cm * 2cm
    Einheiten: cm*cm = cm^2
    Zahlen: 2*2 = 4
    Ergebnis: 4 cm^2

 

PS: Danke an @parabelsinuslp fuer die Hilfe beim Verstaendnis.

Die Frage ist tatsächlich interessanter als ich zuerst vermutet hatte, wenn man versucht es tatsächlich zu erklären.

Früher wurden Quadratmeter ja als qm angegeben. Die Schreibweise m² kam erst später um die Verwechselung mit Kubikmetern deutlicher zu unterscheiden.

Einheiten sind im Grunde eine Art Sprachkonvention auf die man sich standardisiert geeinigt hat, um zu verdeutlichen wie gemessen wurde. 

Viele Einheiten gehen daher ja sogar auf Namen von Wissenschaftlern zurück und damit nicht direkt auf das eigentliche Messverfahren (Newton, Joule, Watt z.B.).

Insofern darf man den mathematischen Wert, enthalten in der Einheit selbst im Grunde nicht viel stärker werten als eben einen Hinweis auf das jeweilige Messverfahren.

Die am einfachsten zu bestimmende Fläche ist nunmal das Quadrat, dessen Flächeninhalt durch Multplikation (bzw. Quadrieren) der gleichen Seitenlängen bestimmt wird.

PS: Jede Multiplikation lässt sich als Addition ausdrücken. So auch bei der Fläche. Die Breite der zu addierenden Flächen entspricht dabei einer Einheit des gewählten Längenmaßes der Seitenlängen.

Bei einer Kreisfläche z.B. biegen wir Kreisringflächen mit der Dicke einer Einheit des Umfang-Längenmaßes so oft in die Ebene und stapeln sie bis wir beim Mittelpunkt des Kreises angekommen sind.

Würden wir sie hintereinanderlegen, wäre es die Veranschaulichung der Addition, wobei wir zuletzt immer noch die Breite der gewählten Längenmaßeinheit also 1 multiplizieren würden womit es wieder eine Multiplikation zweier Längeneinheiten wäre.

Vielleicht ist es so gedanklich besser nachvollziehbar.
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Hm die Einheit liefert immer den Hinweis "in welcher Relation zur unendlich dünnen Zwiebelscheibe" wir uns bewegen^^
Schafft den Rahmen und Maßstab für diese Relation. (Letzten Satz bitte nicht überbewertend kritisch sezieren, sondern als veranschaulichendes Zwinkern verstehen).