Dimensionen und Einheiten Problem

Aufrufe: 140     Aktiv: 13.01.2023 um 18:23

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Hallo, 

Ich glaube ich tick entweder nicht mehr richtig oder es stimmt wirklich. 

Also diese Frage ist jetzt aufgekommen wegen integralrechnung, (Fläche die wie alles mögliche aussehen kann, sowie volumen und linien auch aussehen können wie sie wollen zb kurven, röhren, alles mögliche).

Wenn man cm * cm nimmt, kann man ja die einheit cm als eine art variable/zahl betrachten auf die man sich geeinigt hat, wenn man also cm *cm macht, tut man ja in anderen worten den Zentimeter insgesamt "Zentimeter mal" mit sich addieren, was ja theoretisch gesehen cm² sein müsste, warum ist dann aber ein umfang zb trotzdem zentimeter hoch 1 oder eine Fläche cm hoch 2 ?


Also in anderen worten, warum kann man die fläche einer simpelsten fläche zb ein quadrat nicht additiv berechnen, sondern nur multiplikativ ???
zb durch eine unendliche summe oder so.
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Ein Umfang ist im Zweidimensionalen eine Strecke. Beispiel Rechteck: 2*a +2*b die Einheit ist cm Oder mm  oder m oder km oder, oder ...
Die Fläche ist a *b und damit cm ^2 oder m^2, oder oder 

das Volumen ist a*b * h ( gemeint Höhe )
und die Einheit dann cm ^3 oder m^3 usw.
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ja gut aber ich glaub er meint warum man die Fläche eines Quadrates nicht mithilfe von längen aufsummieren kann, also warum sind 2cm * 2cm = 4cm² aber nicht 2cm + 2cm +2cm +2cm = 4cm²   ─   parabelsinuslp 12.01.2023 um 12:29

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Deine Vorstellung, dass ein Zentimeter eine Zahl ist, auf die man sich geeinigt hat, ist nicht ganz richtig. Natuerlich ist ein Zentimeter willkuerlich auf eine bestimmte Laenge festegelegt worden (bzw. der Meter https://de.wikipedia.org/wiki/Urmeter), aber es ist eben eine Messgroesse und somit mehr als eine Zahl. Es eine Messgroesse fuer Laenge (was auch immer das physikalisch ist), die mithilfe von Zahlen beschrieben werden. Allerdings sind 1 cm eben auch 0.1 dm, 0.01 m, 10 mm, 0.0328084 ft usw., d.h. welche Zahl dem Zentimeter entspricht, haengt davon ab welche Einheit man benutzt. Laenge wird immer als Zahl und Einheit angegeben.
Die Zahlen selbst haben keine Einheit, man nennt das auch dimensionslos.

Dieser Unterschied zwischen Zahlen auf der einen Seite und Messgroessen (wie z.B. Laenge gemessen in cm) ist entscheidend. So ist 2*2cm = 2 cm + 2 cm = 4 cm, aber 2cm * 2cm = 4cm^2, was nicht dasselbe ist, da du einmal 2 und einmal 2cm benutzt.

Deutlich wird das wenn du obiges in Fuss umrechnest. Aus den 2cm wird (ca.) 0.0656 ft, aber die 2 bleibt die 2:
2*2cm=2*0.0656ft=0.1312ft was wieder umgerechnet in Zentimeter 4 cm ergibt (gerundet). Fuer die Flaeche hast du 0.0656 ft * 0.0656 ft = 0.00430 ft^2. Auch das gibt gerundet wieder 4cm^2, wenn du es umrechnest. (Beachte dabei das 1 cm = 0.0328084 ft, aber 1 cm^2 = 1cm * 1cm = 0.0328084 ft * 0.0328084 ft = 0,00107639 ft^2).

Diese Vorstellung das Multiplikation von a*b einfach nur b a-mal oft zu addieren funktioniert deshalb nicht, wenn du zwei Messgroessen multiplizieren moechtest. Merke dir am besten beim Rechnen von Messgroessen, dass du einerseits die ganzen Messgroessen verrechnest und einmal die Zahlen (ohne die Messgroessen) zusammenrechnest. Letzteres kannst du so machen, wie du es vom Rechnen mit Zahlen kennst.
Besipiel: 2cm * 2cm
    Einheiten: cm*cm = cm^2
    Zahlen: 2*2 = 4
    Ergebnis: 4 cm^2

 

PS: Danke an @parabelsinuslp fuer die Hilfe beim Verstaendnis.

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Ist aber eine messgröße und somit eine größe zum messen Fundamentalisch keine zahl? Weil jede länge die in cm gemessen wird ist somit ein vielfaches der zahl „Zentimeter“?   ─   parabelsinuslp 12.01.2023 um 14:52

Also ich glaube das die frage schon berechtigt ist und das etwas paradoxisch klingt weil der Leibniz mit den Summen der längen eines flächenstücks von cm auf cm^2 gekommen ist. Und es war die Exakte Zahl.   ─   parabelsinuslp 12.01.2023 um 14:57

könnte es sein, dass userfd12dd und parabelsinuslp ein und die selbe Person sind?   ─   mpstan 12.01.2023 um 16:43

uh ja das war mein schulaccount lol   ─   userfd12dd 12.01.2023 um 18:01

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Eine Einheit ist halt eine Einheit und keine Zahl.   ─   cauchy 12.01.2023 um 19:23

Naja, vielleicht habe ich einfach unrecht, kann das sein das eine Fläche die ja aus unendlich vielen 1 dimensionalen linien besteht, was heißt das nach unendlich vielen schritten immernoch 0 cm² erreicht sind weil man nie in die 2. dimension eine menge hinzugefügt hat; und hat das dann mit der mengentheorie zutun, anstatt logik, also zb das unedlich - 1 = unendlich ist oder unendlich + 1 = unendlich ist und so? (Hilberts Hotel).   ─   parabelsinuslp 13.01.2023 um 07:45

Eine Fläche kann durch (mitunter auch unendliche) Summation von infinitesimalen Flächen beschrieben werden, die so dünn werden können, dass sie Linien ähneln, aber dennoch nie ihre zweite Dimension verlieren. Tatsächlich spielt es keine Rolle, wie viele Linien man addiert, es wird nie eine Fläche werden, da einem ja eine Dimension fehlt. Mit Hilberts Hotel hat das allerdings nichts zu tun.
Wenn du dich in der Schule schon mit außerschulischen mathematischen Themen beschäftigen willst, ist es empfehlenswert, sich an Lehrbücher online-Kurse zu halten, damit man sich kein nutzloses (und potentiell verwirrendes) Halbwissen aneignet.
  ─   fix 13.01.2023 um 18:23

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