Verständnisfragen: Gleichverteilung

Aufrufe: 88     Aktiv: 16.07.2022 um 14:58

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Hallo, ich bearbeite gerade folgende Aufgabe: 



zu a): Ich habe durch Umformen folgendes: $cov[X_1,X_1+X_2]$=$Var[X_1]$, da $cov[X_1,X_2]=0$. (Korrekt?)
zu b): Dazu habe ich den Korrelationskoeffizienten herangezogen. Ist dieser ungleich 0, so sind $X_1+X_2$ und $X_1-X_2$ nicht stochastisch unabhängig (oder?). Da aber $cov[X_1+X_2, X_1-X_2]=0$ (Aufgabe c)), scheitert meine Argumentation. Die Umkehrung des Satzes gilt ja nicht. Wie zeige ich, dass die Ereignisse stoch. abhängig sind?
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gefragt

Student, Punkte: 16

 

Kann ich folgendermaßen Argumentieren:
Die Ereignismenge von $X_1+X_2$ sei $\Omega={2,3,4,…,12}$ und die Ereignismenge von $X_1-X_2$ sein $\Delta=1,2,3,4,5$.
$P(X_1+X_2=\omega)$=$\frac{1}{11}$ und $P(X_1-X_2=\delta)$=$\frac{1}{5}$ wobei $\omega \in \Omega$ und $\delta \in \Delta$.

Die Ereignismenge von $X_1+X_2, X_1-X_2 $ ist $\Gamma=1,2,…,12$
Und offensichtlich gilt nicht $P(X_1+X_2 \cup X_1-X_2=\gamma)$= $P(X_1+X_2=\omega)$$*$$P(X_1-X_2=\delta)$, da $P(X_1+X_2 \cup X_1-X_2=\gamma)$ = $\frac{1}{12}$

Ist das korrekt?

  ─   anonymaa0df 15.07.2022 um 20:09
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1 Antwort
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a) passt, folgt aus der Bilinearität der Kovarianz. 

b) Das oder kannst du dir selbst beantworten, indem du in deinen Unterlagen entsprechende Eigenschaften, Sätze, etc. nachschlägst (schadet grundsätzlich nicht, sowas selbst nachzuschlagen). 

Bei c) geht einiges schief. Erstmal fehlen da Mengenklammern. In LaTeX geht das mit einem \ vor den geschweiften Klammern. Dann kann $X_2-X_1$ auch den Wert 0 und negative Werte annehmen. Die Wahrscheinlichkeit für $P(X_1+X_2=\omega)$ ist falsch, denn $X_1+X_2$ ist nicht gleichverteilt. Die 7 fällt deutlich häufiger als die 2 oder 12. Ähnliches für $X_2-X_1$. Wie kann die Ereignismenge eines Zufallsvektors aus Zahlen bestehen? Weiterhin brauchst du für die stoch. Unabhängig den Schnitt $\cap$ und nicht die Vereinigung.
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Selbstständig, Punkte: 23.75K

 

Danke für deine Antwort!
Habe die Wahrscheinlichkeiten für $X_1+X_2$ und $X_1-X_2$ angepasst.

Sei die Ereignismenge von der Summe $\Omega =\{(1+1),(1+2),…,(6+6)\}$ = $\{2,3,…,12\}$ und die der Differenz $\Delta =\{(6-1),(1-6),…,(1-1)\}$ = $\{-5,-4,…,5\}$.

Dann ist $P(X_1+X_2=2)= P(X_1+X_2=12)= P(X_1-X_2=-5)= P(X_1-X_2=5)$=$\frac{1}{36}$ usw. für alle anderen Wahrscheinlichkeiten.

Der Ereignisraum von $(X_1+X_2, X_1-X_2)$ sei $\Gamma$=$\{$$2\choose -5$, $2\choose -4$,…, $12\choose 5$$\}$, also alle Kombinationsmöglichkeiten von $\Omega$ und $\Delta$ in Vektorschreibweise, oder?


Bei dem Schnitt der beiden Mengen komme ich etwas damit durcheinander, welche Mengen wir schneiden:
Ist $\Omega \cap \Delta$= $\{(1+1),(1+2),…,(6+6)\}$ $\cap$ $\{(6-1),(1-6),…,(1-1)\}$, dann wäre die Schnittmenge leer und die Wahrscheinlichkeit 0.

Ich glaube eher: $\Omega \cap \Delta$= $\{2,3,…,12\}$ $\cap$ $\{-5,-4,…,5\}$ = $\{2,3,4,5\}$

Welche Ereignisse muss ich denn für beispielsweise $P(X _1+X_2 \cap X_1-X_2=2)$ betrachten. Ist es das Ereignis $2\choose 2$ ? Irgendwie hänge ich bei der Berechnung dieser Wahrscheinlichkeiten…
  ─   anonymaa0df 16.07.2022 um 12:55

Ich habe mir für $P(X_1+X_2,X_1-X_2=2)$ folgendes überlegt: ich zähle die Möglichkeiten für $2\choose 2$: $(3-1)\choose (1+1)$, $(4-2)\choose (1+1)$, $(5-3)\choose (1+1)$, $(6-4)\choose (1+1)$. Und das für $3\choose 3$, $4\choose 4$ und $5\choose 5$. Für die Wahrscheinlichkeiten berechne ich einfach die relative Häufigkeit. Damit erhalte ich für $P(X_1+X_2,X_1-X_2=2)$ = $\frac{4}{20}$, kommt das hin?   ─   anonymaa0df 16.07.2022 um 13:10

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