Häufungspunkte von Zahlenfolgen

Aufrufe: 132     Aktiv: 14.11.2021 um 18:00

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kann mir bitte jemand bei der Aufgabe helfen? Ich verstehe nicht mal wirklich genau was genau die zf ist gehört der Betrag dazu oder ist das nur 4^n?

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Student, Punkte: 109

 
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\( (a_n) \) ist eine Zahlenfolge und diese hat eine besondere Eigenschaft, nämlich, dass wenn du den Betrag der Summe zweier aufeinander folgender Folgenglieder \( |a_n + a_{n+1}| \) mit \( 4^n \) multiplizierst, dass dieses Produkt dann immer echt kleiner als 1 ist. Damit musst du arbeiten.

Gruß, Ruben
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Lehrer/Professor, Punkte: 900

 

Dankeschön!! kannst du mir vielleicht noch einen tipp geben, wie ich bestimmen kann, wie viele HP die folge haben kann   ─   anonymf76f7 13.11.2021 um 15:12

Hm ... Wenn du die Ungleichung umstellst, dann erhälst du sie in der Form \( |a_n + a_{n+1}| < 4^{-n} \). Die Summe der Beträge zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder ist also ein Nullfolge. Überlegt dir, ob und welche Rückschlüsse du daraus in Bezug auf die Folge \( (a_n) \) selbst ziehen kanst.   ─   mathematinski 13.11.2021 um 15:24

kurze verständnisfrage... warum ist die Summer der beträge eine Nullfolge? die summe ist doch nur <4^-n oder nicht?   ─   anonymf76f7 13.11.2021 um 15:28

Klar, aber \( 4^{-n} \) ist ja nur eine andere Schreibweise für \( 1/4^n \) und da \( 4^n \) für wachsendes n gegen \( \infty \) geht, geht der Kehrwert gegen 0. Und dann muss auch der (positive) Betrag der beiden Summanden der Folge gegen 0 gehen ...   ─   mathematinski 13.11.2021 um 15:42

stimmt da hatte ich gerade einen Denkfehler danke!
ist dann richtig, dass an und an+1 auch eine Nullfolge sein müssen und somit die folge nur einen Häufungspunkt hat?
  ─   anonymf76f7 13.11.2021 um 15:45

Nein, das stimmt nicht! \( (a_n) \) muss keine Nullfolge sein.   ─   mathematinski 13.11.2021 um 17:41

also wegen den betragsstirchen muss es ja eigentlich >0 sein oder? und das ist ein Widerspruch deswegen existiert kein Häufungspunkt?   ─   anonymf76f7 13.11.2021 um 17:43

Was meinst du mit "es"? Innerhalb der Betragsstriche steht eine Zahl, die sich aus der Summe zweier anderer Zahlen ergibt. Diese Zahl kann positiv sein, sie kann aber auch negativ sein. Ist letzteres der Fall, machen die Betragsstriche daraus eine positive Zahl. Im ersteren Fall bräuchte man die Betragsstriche nicht ...   ─   mathematinski 13.11.2021 um 17:48

ja genau das meine ich ja, deswegen ist an+ an+1 >0 und das ist ein Widerspruch deswegen gibt es keinen Häufungspunkt?   ─   anonymf76f7 13.11.2021 um 17:49

Nein. Ich versuch's mal anders. Eigentlich wird da eine neue Folge \( (b_n) \) betrachtet, wobei für jedes n gilt: \( b_n = a_n + a_{n+1} \). Diese Folge \( (b_n) \) muss eine Nullfolge sein! Und wenigstens einen Häufungspunkt muss es doch geben.   ─   mathematinski 13.11.2021 um 17:58

aber warum muss das eine Nullfolge sein?
  ─   anonymf76f7 13.11.2021 um 18:01

weil 4^-n auch eine Nullfolge ist?   ─   anonymf76f7 13.11.2021 um 18:02

Warum \( (b_n) \) eine Nullfolge sein muss? Weil der Betrag der Folgenglieder gegen null geht, da \( 1/4^n \) gegen null geht!   ─   mathematinski 13.11.2021 um 18:03

und deswegen gibt es dann genau einen Häufungspunkt?   ─   anonymf76f7 13.11.2021 um 18:06

Der letzte Tipp, den ich dir geben kann, ist das Stichwort "\( \textbf{Alternierende Folge} \)". Ich muss jetzt dann auch erst mal weg ...   ─   mathematinski 13.11.2021 um 18:08

auf jeden fall schon mal vielen vielen vielen dank!!!   ─   anonymf76f7 13.11.2021 um 18:09

dann muss es ja zwei Häufungspunkte geben... vermutlich wegen dem betrag, aber ich verstehe es trotzdem nicht... wenn es doch eine Nullfolge ist, dann ist der Häufungspunkt doch 0   ─   anonymf76f7 13.11.2021 um 18:11

Okay, noch ein allerletzter Hinweis. Wobei dieser dann wirklich schon fast die Lösung ist, was man ja eigentlich nicht machen soll ... Es gilt zum Beispiel 4 + (-4) = 0. Viel Erfolg noch!   ─   mathematinski 13.11.2021 um 18:14

Tut mir leid für die ganzen Fragen…
4 +(-4) ist ja das inverse Element bezüglich der Addition, aber was hat das denn jetzt mit der Folge zu tun die ist doch an+an+1 🤯…
Tut mir wirklich wirklich leid aber irgendwie verstehe ich trotzdem nicht den Zusammenhang
  ─   anonymf76f7 13.11.2021 um 18:27

Alles gut, kein Problem! Schau dir doch mal vor dem Hintergrund unserer bisherigen Kommunikation die Folge \( (a_n) \) mit \( a_n = (-1)^n \cdot 4 \) an und übertrag das auf die gegebene Situation. Hilft dir das weiter?   ─   mathematinski 14.11.2021 um 01:47

wenn n gerade ist dann haben wir 4 für ungerade -4... aber warum ist jetzt. die 4 bei der folge?   ─   anonymf76f7 14.11.2021 um 08:55

Ok ich habe das jetzt mit -1 und 1 verstanden. Deswegen kann es schon mal 2 häufungspunkte geben.   ─   anonymf76f7 14.11.2021 um 09:56

Für jede Folge \( (a_n) \) mit \( a_n = (-1)^n \cdot k \) und einer beliebigen Zahl \( k \in R \) erhält man für alle \( n \in N \) dass folgendes gilt: \( a_n + a_{n+1} = 0 \). Dasselbe gilt dann natürlich auch für den Betrag der Summe. Für jede Zahl \( k \neq 0 \) hat man dann \( zwei \) Häufungspunkte. Einen bei \( k \) und einen bei \( -k \). Jetzt musst du dir noch noch klar machen, bzw. zeigen, warum es keine \( drei \) Häufungspunkte geben kann ...   ─   mathematinski 14.11.2021 um 17:19

woher genau kommt denn jetzt das k?   ─   anonymf76f7 14.11.2021 um 17:25

Das ist ein Platzhalter! Du kannst für das k jede beliebige Zahl ungleich null einsetzen und die nachfolgend formulierte Aussage, dass die Summe zweier aufeinander folgender Folgenglieder gleich null ist, stimmt ...   ─   mathematinski 14.11.2021 um 17:35

ahhhh ja danke danke danke!!!!   ─   anonymf76f7 14.11.2021 um 17:38

Gerne! :o)   ─   mathematinski 14.11.2021 um 18:00

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