Randwertproblem Greensche Funktion

Aufrufe: 112     Aktiv: 15.02.2021 um 20:05

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Hallo zusammen, 

könnte mir jemand bei der folgenden Aufgabe helfen?
Ich verstehe da nicht so ganz was man manchen muss

Vielen Dank schonmal! :)




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Wie habt Ihr denn den Begriff der Greenschen Funktion definiert? Da gibt es verschiedene Möglichkeiten. Um Dir zu helfen, müssten wir das also wissen.   ─   slanack 09.02.2021 um 16:22

Wir haben die Green'sche Funktion für den Laplace-Operator, die Kugel und den Halbraum besprochen.
Ich habe die Definition dafür nochmal mit in die Frage gestellt.
  ─   jemanik 09.02.2021 um 19:48

Diese spezielle Definition gilt für den Laplace-Operator in \(\mathbb{R}^2\), aber nicht für die Aufgabe. Die ist ja in \(\mathbb{R}\) gestellt. Ich gebe Dir unten Hinweise, was zu tun ist.   ─   slanack 09.02.2021 um 19:53

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1 Antwort
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Du musst einfach zeigen, dass \[u(x):=\int_0^1G(x,y)f(y)\,\mathrm{d}y\] das AWP löst.  Teile das Integral in zwei Integrale auf, gemäß der Definition von \(G\), um die DGL zu zeigen.
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Sorry, dass ich da nochmal nachfrage ...
Das heißt, ich integriere die beiden Funktionen die ich für G habe nach y (also 0,5*y^2*(1-x) für 0Und dann setze ich was genau ein?
  ─   jemanik 15.02.2021 um 16:17

Um das Integral für gegebenes \(x\) jeweils in den folgenden Rechnungen zu verwenden, schreibst Du es in zwei Teilen hin, so: \[u(x)=\int_0^x G(x,y)f(y)\,\mathrm{d}y+\int_x^1 G(x,y)f(y)\,\mathrm{d}y.\] Dort setzt Du dann den jeweils passenden Ausdruck für \(G\) ein. \(f(y)\) bleibt so stehen, das wird ja nicht spezifiziert.

Randwerte: Setze oben für \(x\) einmal \(0\) und einmal \(1\) ein. Überprüfe, ob das mit den vorgegeben Randwerten übereinstimmt.

Dann bildest Du noch die erste und zweite Ableitung von \(u\) und prüfst, ob die DGL erfüllt ist. Dabei musst Du die Kettenregel und den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anwenden, wenn du die Integralausdrücke nach \(x\) ableitest.
  ─   slanack 15.02.2021 um 20:05

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