Vektoren - Skalarprodukt

Aufrufe: 523     Aktiv: 03.02.2021 um 21:17
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Ich hab Probleme bei der Aufgabe 10.
Ich hab ja als Info gegeben, dass das Skalarprodukt der beiden Vektoren 0 ist sowie die beiden Längen der Vektoren. 
Ich weiß aber nicht, wie ich dann auf die Vektoren komme. 
Ich hab mir nur überlegt, dass das Skalarprodukt der beiden Vektoren gleich der Länge des Richtungsvektors zum Quadrat wäre.
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Du kannst nicht auf die Vektoren selbst kommen, denn es gibt viele Vektoren mit den angegebenen Längen, die aufeinander senkrecht stehen. Trotzdem sind die Aufgaben lösbar: Bei der a) gilt, wie du schon gesagt hast \((a+b)^2=|a+b|^2\). Jetzt kannst du dir eine Skizze machen und Pythagoras in dem rechtwinkligen Dreieck anwenden oder auch weiterrechnen: \((a+b)^2=|a|^2+2(a\circ b)+|b|^2\) und jetzt kannst du die gegebenen Werte einsetzen. Die anderen beiden Aufgaben gehen ähnlich.
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Wie komme ich darauf, dass der Vektor a zum Quadrat = Länge des Vektors a ist?   ─   maxi1001 03.02.2021 um 16:02
Du kennst sicher \(a\circ b=|a|\cdot |b|\cdot\cos\varphi\). Ist nun \(a=b\), dann ist \(\varphi=0\), also \(a^2=|a|^2\).   ─   stal 03.02.2021 um 16:13
Ah ja jetzt hab ich's verstanden.   ─   maxi1001 03.02.2021 um 16:21
Aber a ist doch nicht gleich b?   ─   maxi1001 03.02.2021 um 16:23
Ich hätte andere Variablen als \(a,b\) verwenden sollen. Ich meinte, es gilt für jeden Vektor \(x\), dass \(x^2=|x|^2\), wegen \(x\circ x=|x|\cdot|x|\cdot\cos 0=|x|^2\). In deiner Aufgabe verwenden wir das für \(x=a+b\).   ─   stal 03.02.2021 um 16:35
Ah ok ja.   ─   maxi1001 03.02.2021 um 16:47
Ok, dann hab ich es jetzt die a) erstmal verstanden und gelöst.   ─   maxi1001 03.02.2021 um 16:48
Ok, also bei der b bin ich soweit gekommen:
a•2a + b•2a - (|b|)^2
Jetzt müsste ich ja die übrigen Längen noch bekommen.   ─   maxi1001 03.02.2021 um 16:59
Also eigentlich ist ja bei a•2a
der cosalpha =1
Heißt es man könnte es dann so schreiben:
(|a|) mal (|2a|)

Und wie sieht es dann noch mit dem anderen Skalarprodukt aus?   ─   maxi1001 03.02.2021 um 17:04
Ja genau, das ist korrekt. Für das andere Skalarprodukt: Wenn \(a\) und \(b\) senkrecht sind, dann gilt das auch, wenn wir \(a\) strecken. Also sind \(2a\) und \(b\) immer noch senkrecht zueinander und das Skalarprodukt verschwindet einfach.   ─   stal 03.02.2021 um 17:08
Genau hab ich auch so.
Ich habe 75 als Ergebnis. Kann das sein?   ─   maxi1001 03.02.2021 um 17:10
Bezüglich dem a•2a habe ich noch eine Frage:
Wenn |a|=5 ist, kann ich dann schreiben
5 mal 2 mal 5
?   ─   maxi1001 03.02.2021 um 17:11
75 ist nicht richtig, du warst doch bei $$2|a|^2-|b|^2=2\cdot5^2-12^2=-94$$
Aber ja, \(a\circ 2a=|a|\cdot |2a|=5\cdot2\cdot5.\)   ─   stal 03.02.2021 um 17:14
Stimmt genau richtig. So habe ich auch gedacht.   ─   maxi1001 03.02.2021 um 21:17

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