Monotonieverhalten der Umkehrfunktion

Aufrufe: 51     Aktiv: 16.02.2021 um 17:51

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\(f: R\) -> \(R^+\) ist eine streng monoton wachsende Funktion. Zu bestimmen ist das Monotonieverhalten von \(f_a(x) = f^{(-1)}(x)\).

Für z.B. \(f_b(x) = \frac {1}{f(x)}\) kann man ja einfach sagen, dass dadurch, dass \(f(x)\) streng monoton ist für alle \(x_1 < x_2\) ∈ \(R\) auch \(f(x_1) < f(x_2)\) gelten muss. Daraus folgt \(\frac{1}{f(x_1)} > \frac{1}{f(x_2)}\) und dadurch \(f_b(x)\) ist streng monoton fallend.

Die Umkehrfunktion wird streng monoton wachsend sein, weiß jedoch nicht wie ich das in dem Fall am besten zeigen kann.
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1 Antwort
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Deine Vermutung stimmt so nicht.
\(f(x) =e^x\)  ist streng monoton wachsend.
Die Umkehrfunktion
\(f^{-1}(x) =\ln(x)\)
allerdings auch.

Wichtig: Monotonie hat auch etwas mit dem Steigungsverhalten zu tun.
Was bedeutet strenge Monotonie auf die Ableitungsfunktion bezogen (gitl nur für differenzierbare Funktionen)?
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Ich habe ja vermutet, dass die Umkehrfunktion streng monoton wachsend ist (letzter Absatz. \(f_b(x)\) hat an sich nichts mit \(f_a(x)\) zu tun und war grundsätzlich nur als Demonstration meines bisherigen Vorgehens bei ähnlichen Beispielen angedacht.
Im Skript wurde zu dem Zeitpunkt die Ableitung noch nicht eingeführt, es sollte daher über die Definition der Monotonie gezeigt werden, dabei komme ich leider bei dem Beispiel nicht weiter.
  ─   wirtskoerper 16.02.2021 um 16:18

Stimmt habe dein Beispiel anders verstanden, weil du monoton fallend geschrieben hast.   ─   math stories 16.02.2021 um 16:33

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Dann hast du aber zumindest schonmal eine "richtige" Vermutung".
Was weißt du denn bereits alles über streng monotone Funktionen?
Ich glaube bijektiv solltet ihr gehabt haben.
Gibt es sonst Voraussetzungen an \(f\)? stetig?
  ─   math stories 16.02.2021 um 16:35

Nein, sonst gibt es keine Anforderungen an f. Stetigkeit wurde hier auch noch nicht eingeführt (denke aber schon, dass es sich hier um eine stetige Funktion handeln soll). Die Vermutung kam auch durch e^x und ln(x).
Die Funktion f muss bijektiv sein, da es sonst ja keine Umkehrfunktion geben würde. Da die Umkehrfunktion der Umkehrfunktion wieder die Ausgangsfunktion ergibt, ist auch die Umkehrfunktion bijektiv. \(f^{(-1)}: R^+\) -> \(R\). Streng monoton (wachsende/fallende)Funktionen sind injektiv, wenn der Wertebereich = Bildbereich auch bijektiv. Habe auch gerade wo gelesen, dass Umkehrfunktionen das selbe Monotonieverhalten wie ihre Ursprungsfunktionen haben, stimmt das?
  ─   wirtskoerper 16.02.2021 um 17:19

Ok, es wichtig zu wissen, was ihr bereits hattet 😀

Dann brauchst du "nur" die Defitinion benutzen.

Tipp: Indirketer Beweis:
Angeonmmen \(f^{-1}\) wäre nicht streng monoton wachsend.
Was gilt dann?
  ─   math stories 16.02.2021 um 17:51

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